[论文解读] Quantifying nonstabilizerness of matrix product states

Tobias Haug, Lorenzo Piroli|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2022

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种高效计算矩阵乘积态（MPS）的稳定化Rényi熵（SREs）的方法，SREs是衡量非稳定化性（或‘魔法’）的指标。通过将SRE映射为键维数增大的MPS的范数，该方法实现了与系统尺寸N线性、与键维数χ多项式相关的计算复杂度，从而能够对如伊辛链等量子多体系统中的‘魔法’进行精确的大规模模拟，揭示了临界点附近非单调的行为，该行为依赖于局部计算基。

ABSTRACT

Nonstabilizerness, also known as magic, quantifies the number of non-Clifford operations needed in order to prepare a quantum state. As typical measures either involve minimization procedures or a computational cost exponential in the number of qubits $N$, it is notoriously hard to characterize for many-body states. In this work, we show that nonstabilizerness, as quantified by the recently introduced Stabilizer Rényi Entropies (SREs), can be computed efficiently for matrix product states (MPSs). Specifically, given an MPS of bond dimension $χ$ and integer Rényi index $n>1$, we show that the SRE can be expressed in terms of the norm of an MPS with bond dimension $χ^{2n}$. For translation-invariant states, this allows us to extract it from a single tensor, the transfer matrix, while for generic MPSs this construction yields a computational cost linear in $N$ and polynomial in $χ$. We exploit this observation to revisit the study of ground-state nonstabilizerness in the quantum Ising chain, providing accurate numerical results up to large system sizes. We analyze the SRE near criticality and investigate its dependence on the local computational basis, showing that it is in general not maximal at the critical point.

研究动机与目标

• 开发一种高效计算多体量子态中非稳定化性的方法，该问题通常因指数标度而难以处理。
• 解决为通用多体态（如矩阵乘积态，MPS）计算稳定化Rényi熵（SREs）——一种衡量‘魔法’的定量指标的挑战。
• 实现对扩展量子系统（如量子伊辛链）基态‘魔法’的精确数值研究，超越精确对角化方法的范围。
• 研究‘魔法’对局部计算基的选择的依赖性及其在量子临界点附近的性质。

提出的方法

• n阶SRE表示为所有泡利弦的和，被重述为键维数为χ^{2n}的MPS的范数。
• 对于平移不变MPS，SRE从转移矩阵的主特征值中提取，实现单张量计算。
• 对于通用MPS，SRE通过张量网络收缩计算，实现系统尺寸N的线性缩放和键维数χ的多项式缩放。
• 使用稀疏变换矩阵Q高效计算MPS转移矩阵的对称张量积，避免完整矩阵构建。
• 该方法利用复制技巧和收缩恒等式，将SRE映射为范数计算，从而实现高效的数值评估。
• 通过将SRE结果与小系统下的精确对角化结果对比，并评估键维数χ增加时的收敛性，进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不出现N指数标度的情况下，高效计算矩阵乘积态（MPS）的稳定化Rényi熵（SREs）？
• RQ2 量子伊辛链基态的非稳定化性（‘魔法’）在临界点附近是否表现出非单调行为？
• RQ3 SRE对局部计算基的选择如何依赖，特别是在量子相变点附近？
• RQ4 SRE密度和亚主导项能否独立于局部基诊断量子临界性？
• RQ5 SRE的亚主导项c_N在临界点附近是否表现出对数发散？在热力学极限下，其极值是否收敛于临界场？

主要发现

• 对于键维数χ和Rényi指数n > 1的MPS，SRE的计算成本与系统尺寸N线性相关，与χ多项式相关，从而支持大规模模拟。
• 对于平移不变MPS，SRE从转移矩阵的主特征值中提取，支持单张量评估。
• 伊辛模型的数值结果表明，SRE密度m和亚主导项c_N随键维数χ增加而收敛，误差呈指数衰减。
• SRE密度D_N在所有局部基下并不在临界场h_c处达到峰值，表明‘魔法’在一般情况下并非在临界点处最大。
• 亚主导项c_N在h_c附近达到极值，并随系统尺寸N表现出对数发散，与临界性诊断一致。
• 对c_N极值场h₀(N)的多项式拟合表明其在热力学极限下收敛于h_c = 1，证实其在检测相变中的作用。