[论文解读] Quantifying wall turbulence via a symmetry approach. Part I. A Lie group theory

Zhen-Su She, Xi Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于对称性的新方法，运用李群理论推导壁面湍流中平均速度剖面的解析表达式。通过识别在代表壁面效应的伸缩群作用下不变的量（如应力长度）作为序函数，推导出三种不变解——幂律、缺陷幂律和过渡尺度——从而实现对整个流场的统一多层描述，包含三个关键参数：标度指数、层厚和过渡锐度，且经直接数值模拟（DNS）数据验证。

ABSTRACT

First principle based prediction of mean flow quantities of wall-bounded turbulent flows (channel, pipe, and turbulent boundary layer - TBL) is of great importance from both physics and engineering standpoints. Here (Part I), we present a symmetry-based approach which derives analytic expressions governing the mean velocity profile (MVP) from an innovative Lie-group analysis. The new approach begins by identifying a set of order functions (e.g. stress length, shear-induced eddy length), in analogy with the order parameter in Landau's mean-field theory, which aims at capturing symmetry aspects of the fluctuations (e.g. Reynolds stress, dissipation). The order functions are assumed to satisfy a dilation group invariance - representing the effects of the wall on fluctuations - which allows us to postulate three new kinds of invariant solutions of the mean momentum equation (MME), focusing on group invariants of the order functions (rather than those of the mean velocity as done in previous studies). The first - a power law solution - gives functional forms for the viscous sublayer, the buffer layer, the log-layer, and a newly identified central `core' (for channel and pipe, but non-existent for TBL). The second - a defect power law of form $1-r^{m}$ ($r$ being the distance from the center line) - describes the `bulk zone' (the region of balance between production and dissipation). The third - a relation between the group invariants of the stress length function and its first derivative - describes scaling transition between adjacent layers. A combination of these three expressions yields a multi-layer formula covering the entire flow domain, identifying three important parameters: scaling exponent, layer thickness, and transition sharpness. All three kinds of invariant solutions are validated, individually and in combination, by data from direct numerical simulations (DNS).

研究动机与目标

• 发展一种基于第一性原理的理论，用于预测壁面湍流中的平均流动量，克服对经验模型的依赖。
• 识别支配湍流中平均量空间分布的非平衡物理原理。
• 利用基于对称性的不变量，统一描述粘性子层、缓冲层、对数律区、核心区（在通道/管道中）和主流区。
• 在多种流动构型下，利用直接数值模拟（DNS）数据验证所提出的不变解。
• 为后续部分建立基础，以确定普适常数，并改进对粗糙度、压力梯度和可压缩性等复杂效应的建模。

提出的方法

• 引入序函数（如应力长度和剪切诱导涡旋长度）作为朗道序参量的类比，以捕捉湍流脉动的对称性特征。
• 应用李群分析，识别这些序函数中体现壁面影响的伸缩群不变性。
• 从群不变量推导出三种不变解：(1) 适用于粘性子层、缓冲层、对数层以及在通道流和管道流中新识别的核心区的幂律；(2) 形如 $1 - r^m$ 的缺陷幂律，用于描述主流区；(3) 应用于应力长度及其一阶导数的群不变量之间的关系，以描述尺度过渡。
• 通过组合三种不变解，构建一个以标度指数、层厚和过渡锐度为参数的多层解析公式。
• 利用延长特征方程和无穷小生成元，从底层偏微分方程系统地推导出对称变换和群不变量。
• 分别且联合使用高保真直接数值模拟（DNS）数据，对每种不变解进行验证，数据涵盖通道流和管道流。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于李群理论的对称性方法是否能在不依赖经验假设的前提下，推导出壁面湍流中平均速度剖面的解析表达式？
• RQ2 从湍流脉动中序函数的伸缩群不变性出发，可推导出哪些基本不变解？
• RQ3 所推导的不变解——幂律、缺陷幂律和过渡关系——如何描述整个流场中壁面湍流的分层结构？
• RQ4 这三种不变解的组合是否能准确表征宽范围雷诺数和不同流动几何下的平均速度剖面？
• RQ5 应力长度函数及其导数的群不变量在建模相邻湍流层之间过渡中的作用是什么？

主要发现

• 基于对称性的方法成功推导出三种不同的不变解：适用于粘性子层、缓冲层、对数层以及在通道流和管道流中新识别的核心区的幂律。
• 形式为 $1 - r^m$ 的缺陷幂律能准确描述主流区，该区域湍流的生成与耗散达到平衡。
• 相邻层之间的过渡由应力长度函数及其一阶导数的群不变量之间的关系所控制，从而可精确建模尺度过渡。
• 三种不变解的组合形成一个全面的多层公式，以三个关键参数——标度指数、层厚和过渡锐度——覆盖整个流场。
• 所有三种类型的不变解均通过直接数值模拟（DNS）数据进行了单独和联合验证，证实了其准确性和一致性。
• 该理论为识别普适主流区常数0.45奠定了基础，该常数在高雷诺数下渐近趋近于真实的卡门常数，如本系列第二部分所示。