[论文解读] Quantiles Equivariance

Reza Hosseini|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2010

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文挑战了普遍认为分位函数在单调变换下保持等变性的观点，通过反例表明，即使在严格递增函数下，这一性质也未必成立。文章证明左分位函数在左连续非减变换下保持等变性，并利用对称性定理推导出右分位函数及递减变换下的类似结果，同时指出尽管存在逐点发散，变换后的分位数在概率上仍等价。

ABSTRACT

It is widely claimed that the quantile function is equivariant under increasing transformations. We show by a counterexample that this is not true (even for strictly increasing transformations). However, we show that the quantile function is equivariant under left continuous increasing transformations. We also provide an equivariance relation for continuous decreasing transformations. In the case that the transformation is not continuous, we show that while the transformed quantile at p can be arbitrarily far from the quantile of the transformed at p (in terms of absolute difference), the probability mass between the two is zero. We also show by an example that weighted definition of the median is not equivariant under even strictly increasing continuous transformations.

研究动机与目标

• 挑战普遍认为分位函数在单调变换下保持等变性的说法。
• 明确分位等变性成立的精确条件，特别是变换的连续性与单调性。
• 解决在连续严格递增变换下加权分位数定义（如中位数）的不一致性。
• 建立非连续及递减变换下分位等变性的理论框架。

提出的方法

• 使用左分位函数 $ lq_X(p) = \inf\{x \mid F(x) \geq p\} $ 和右分位函数 $ rq_X(p) = \inf\{x \mid F(x) > p\} $ 作为对偶定义。
• 应用分位值准则引理，证明变换下分位值的唯一性与性质。
• 引入 $ \phi^\leq(y) = \{x \mid \phi(x) \leq y\} $ 和 $ \phi^\star(y) = \sup \phi^\leq(y) $ 以分析变换下的原像行为。
• 证明左连续非减 $ \phi $ 满足 $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $，右连续 $ \phi $ 满足 $ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(p)) $。
• 利用分位对称定理 $ lq_X(p) = -rq_{-X}(1-p) $ 推导非增变换下的等变性。
• 通过分析不连续情形，证明 $ \phi(lq_X(p)) \in [lq_Y(p), rq_Y(p)] $，表明尽管存在逐点发散，但概率质量差异为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 分位函数是否真如普遍所称，在严格递增变换下保持等变性？
• RQ2 在何种变换 $ \phi $ 条件下，$ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $ 成立？
• RQ3 分位等变性在不连续或非连续变换下如何表现？
• RQ4 等变性是否可在递减变换下保持？若可，需何种连续性假设？
• RQ5 当 $ \phi $ 不连续时，$ \phi(lq_X(p)) $ 与 $ lq_{\phi(X)}(p) $ 之间的概率关系为何？

主要发现

• 反例表明，即使在严格递增变换下，分位等变性也未必成立：当 $ X \sim U[0,1] $，且 $ \phi(x) = x $ 对于 $ x < 1/2 $，$ \phi(x) = x+5 $ 对于 $ x \geq 1/2 $ 时，有 $ lq_T(1/2) = 1/2 \neq \phi(1/2) = 5.5 $。
• 左分位函数在左连续非减变换下保持等变性：$ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $。
• 右分位函数在右连续非减变换下保持等变性：$ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(p)) $。
• 对于非增右连续 $ \phi $，有 $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(1-p)) $；对于非增左连续 $ \phi $，有 $ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(1-p)) $。
• 当 $ \phi $ 不连续时，$ \phi(lq_X(p)) $ 与 $ lq_{\phi(X)}(p) $ 落在同一区间 $ [lq_Y(p), rq_Y(p)] $ 内，因此两者间概率质量差异为零。
• 加权中位数定义（如中间两值的平均）在连续严格递增变换下不保持等变性，地震强度数据的反例已证实此点。