[论文解读] Quantisation conditions of the quantum Hitchin system and the real geometric Langlands correspondence

J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新的量子 Hitchin 系统的量化条件，通过与特殊平坦联络（即具有实单值性）相关的生成函数 Y(a, t) 实现，从而建立了实几何 Langlands 对应。通过应用分离变量（SOV）方法并分析半经典极限，表明 Hitchin 哈密顿算符本征方程的单值解恰好对应于具有实单值性的对操（opers），推广了 E. Frenkel 关于高亏格曲线的猜想，并通过 KZB 方程与共形场论建立联系。

ABSTRACT

Single-valuedness of the eigenfunctions of the quantised Hitchin Hamiltonians is proposed as a natural quantisation condition. Separation of Variables can be used to relate the classification of eigenstates to the classification of projective structures with Fuchsian holonomy. Using complex Fenchel-Nielsen coordinates one may reformulate the quantisation conditions in terms of the generating function for the variety of opers. These results are interpreted as a variant of the geometric Langlands correspondence.

研究动机与目标

• 提出一种超越 Bethe ansatz 框架的量子 Hitchin 系统新量化条件。
• 将 Hitchin 哈密顿算符本征方程的单值解与具有实单值性的对操联系起来。
• 将 E. Frenkel 关于对操与量化的猜想推广至高亏格黎曼曲面。
• 建立实对操与单值本征函数之间的对应，定义几何 Langlands 程序的实版本。
• 通过 KZB 方程与临界水平极限，将量化条件与共形场论联系起来。

提出的方法

• 使用分离变量（SOV）方法构造 Hitchin 哈密顿算符的本征函数。
• 将生成函数 Y(a, t) 识别为局部系统模空间中对操族的势函数。
• 应用复 Fenchel-Nielsen 坐标描述模空间的实截面，并将其与具有实单值性的对操联系起来。
• 通过作用量-角度变量的实部推导量化条件，得到类似 Bohr-Sommerfeld 的条件。
• 通过 KZB 方程与临界水平极限，将波函数的主导渐近行为与 Hitchin 哈密顿算符联系起来。
• 利用 Riemann-Hilbert 对应，将平坦联络上的代数结构与几何 Langlands 对应联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖 Bethe ansatz 的前提下，为量子 Hitchin 系统制定量化条件？
• RQ2 生成函数 Y(a, t) 在编码具有实单值性的对操的量化条件中起什么作用？
• RQ3 SOV 方法如何在实几何 Langlands 对应中将单值本征函数与对操联系起来？
• RQ4 KZB 方程的半经典极限以何种方式恢复 Bohr-Sommerfeld 量化条件？
• RQ5 实对操与 Hitchin 本征方程单值解之间的精确对应关系是什么？

主要发现

• 在半经典极限下，Hitchin 系统的量化条件被证明等价于实作用变量上的 Bohr-Sommerfeld 条件，其中 Re(ar) = ǫ1πnr 且 Re(aDr) = ǫ1πmr。
• 对操族的生成函数 Y(a, t) 被识别为编码量化条件的关键对象，将 Frenkel 的猜想推广至亏格 g > 1 的情形。
• Hitchin 哈密顿算符的单值本征函数恰好对应于具有实单值性的对操，从而确立了实几何 Langlands 对应。
• SOV 方法通过将本征函数与具有实单值性的对操联系起来，为几何 Langlands 对应提供了具体的实现。
• 在临界水平极限下，共形块 Z(x, q) 的主导渐近行为与本文研究的函数 W(l, q) 一致，证实了与共形场论的一致性。
• 结果在 genus 0 和 1 的 sl2 情形下被严格推导，而高亏格情形的推广仍为一个基于半经典与 CFT 论证的猜想。