[论文解读] Quantitative approximation of the Burgers and Keller-Segel equations by moderately interacting particles

Christian Olivera, Alexandre Richard+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

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一句话总结

本文为逼近粘性 Burgers 方程与 Keller-Segel 方程的随机粒子系统建立了定量收敛速率，其相互作用核具有奇异性且非局部可积。通过使用光滑化经验测度与弱解形式，证明了在 Bessel 空间与 Lq 空间中，几乎必然收敛速率分别为 Burgers 方程的 $N^{-1/6}$ 和 Keller-Segel 方程的 $N^{-1/(2(d+1))}$，该结果在 PDE 解存在的最大时间范围内成立。

ABSTRACT

In this work we obtain rates of convergence for two moderately interacting stochastic particle systems with singular kernels associated to the viscous Burgers and Keller-Segel equations. The main novelty of this work is to consider a non-locally integrable kernel. Namely for the viscous Burgers equation in $\mathbb{R}$, we obtain almost sure convergence of the mollified empirical measure to the solution of the PDE in some Bessel space with a rate of convergence of order $N^{-1/6}$, on any time interval. With the same rate, convergence also holds for the genuine empirical measure in Wasserstein distance, and at the level of the trajectories of the particles with the standard coupling to McKean-Vlasov particles. In the case of the Keller-Segel equation on a $d$-dimensional torus, we obtain almost sure convergence of the mollified empirical measure to the solution of the PDE in some $L^q$ space with a rate of order $N^{-\frac{1}{2(d+1)}}$. The result holds up to the maximal existence time of the PDE, for any value of the chemo-attractant sensitivity $χ$.

研究动机与目标

• 为具有奇异、非局部可积相互作用核的中等相互作用粒子系统逼近粘性 Burgers 方程与 Keller-Segel 方程，提供定量收敛速率。
• 在 Bessel 空间与 Lq 空间中，分别建立光滑化经验测度几乎必然收敛至 PDE 解的结论，并给出显式收敛速率。
• 分析光滑化与非光滑化经验测度的收敛性，包括通过耦合至 McKean-Vlasov 过程来研究粒子轨迹的收敛性。
• 利用 Bihari 不等式与 BDG 型估计，克服弱解形式中非线性项与随机卷积积分带来的挑战。
• 量化初始密度由 i.i.d. 样本近似时在 Bessel 范数下的误差，得出一个具有独立兴趣的一般性结果。

提出的方法

• 将粒子系统表述为带有相互作用核 $K$ 的随机微分方程，通过缩放 $V^N(x) = N^{d\alpha}V(N^\alpha x)$ 构造光滑化核 $V^N$，其中 $\alpha \in (0,1]$。
• 利用 PDE 的弱解形式，将解表示为半群演化与非线性、随机卷积项的组合。
• 应用 Bihari 不等式控制差值 $u - u^N$ 中的非线性二次项，从而在存在随机时间域问题的情况下实现全局时间收敛。
• 利用无限维鞅的 BDG 不等式（命题 A.3）在 Bessel 空间 $H^\beta_p$ 中控制随机卷积积分。
• 将误差分解为偏差（光滑化误差）与方差（经验测度波动），分别利用卷积不等式与矩界进行估计。
• 利用 Sobolev 嵌入与空间的 H"older 连续性，确保 $u^N$ 在所有 $N$ 上具有一致正则性，这对收敛性分析至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在 $\mathbb{R}$ 上的粘性 Burgers 方程，使用 Dirac 核时，中等相互作用粒子系统光滑化经验测度的最优收敛速率是多少？
• RQ2 非光滑化经验测度在 Wasserstein 距离下是否可达到相同的收敛速率？该结果是否可推广至粒子轨迹？
• RQ3 在环面上的 Keller-Segel 模型中，收敛速率如何依赖于维度 $d$ 与核的奇异性？
• RQ4 在 Bessel 范数下，初始条件近似速率是否最优？其对整体粒子系统收敛性有何影响？
• RQ5 即使在化学趋化敏感度 $\chi$ 较大时，是否仍可在不施加漂移截断的情况下建立收敛性？

主要发现

• 对于 $\mathbb{R}$ 上的粘性 Burgers 方程，光滑化经验测度 $u^N$ 几乎必然收敛至 PDE 解 $u$，在 Bessel 空间 $H^\beta_p(\mathbb{R})$ 中的收敛速率为 $N^{-1/6 + \varepsilon}$，对任意 $\varepsilon > 0$ 成立，且在 $[0,T]$ 上时间一致。
• 非光滑化经验测度 $\mu^N$ 在 Wasserstein 距离下的收敛速率同样为 $N^{-1/6 + \varepsilon}$，从而建立了混沌传播的定量结果。
• 建立了粒子系统到 McKean-Vlasov 过程的路径收敛性，意味着在路径空间上经验测度的收敛。
• 对于 $\mathbb{T}^d$ 上的 Keller-Segel 方程（$d \geq 2$），光滑化经验测度在 $L^q(\mathbb{T}^d)$ 中几乎必然收敛，收敛速率为 $N^{-1/(2(d+1)) + \varepsilon}$，有效时间范围为 PDE 解的最大存在时间。
• 速率 $N^{-1/(2(d+1))}$ 与已知结果一致，但无需对漂移项进行截断；在较弱条件下，初始条件近似速率至少为 $N^{-1/(2(d+1))}$。
• 附录 B 推导出一个一般性结果：密度 $u_0$ 与其基于 i.i.d. 样本的光滑化经验测度之间 Bessel 范数误差的 $m$ 阶矩，有界于 $N^{-\alpha(\beta' - \beta)} + N^{\alpha\beta + d\alpha(1 - 2/m) - 1/2}$，从而量化了在 Bessel 范数下对密度近似的误差。