[论文解读] Quantitative BT-Theorem and automatic continuity for standard von Neumann algebras

Francesco Fidaleo, László Zsidó|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文为标准冯诺依曼代数建立了博尔赫斯-塔凯西（BT）定理的定量版本，证明了任意处处定义、可逆、反线性且与冯诺依曼代数及其超商代数实现互换，并在中心上作用为*-运算的算子，必然是有界的。该结果导出了关于互换算子的一般自动连续性定理，其应用涵盖冯诺依曼代数的同态以及具有不变GNS补全的正规、半有限、忠实权的W*-代数的结构。

ABSTRACT

We prove a general criterion for a von Neumann algebra $M$ in order to be in standard form. It is formulated in terms of an everywhere defined, invertible, antilinear, a priori not necessarily bounded operator, intertwining $M$ with its commutant $M'$ and acting as the $*$-operation on the centre. We also prove a generalized version of the BT-Theorem which enables us to see that such an intertwiner must be necessarily bounded. It is shown that this extension of the BT-Theorem leads to the automatic boundedness of quite general operators which intertwine the identity map of a von Neumann algebra with a general bounded, real linear, operator valued map. We apply the last result to the automatic boundedness of linear operators implementing algebraic morphisms of a von Neumann algebra onto some Banach algebra, and to the structure of a $W^*$-algebra $M$ endowed with a normal, semi-finite, faithful weight $\\varphi\\,$, whose left ideal $\\mathfrak N_{\\varphi}$ admits an algebraic complement in the GNS representation space $H_{\\varphi}\\,$, invariant under the canonical action of $M$.

研究动机与目标

• 通过反线性互换算子建立冯诺依曼代数为标准形式的一般判据。
• 证明此类互换算子虽未预先假定有界，但必然是自动有界的。
• 将经典BT定理推广，以导出互换恒等映射与有界实线性算子值映射的算子的自动连续性。
• 将自动连续性结果应用于实现冯诺依曼代数到巴拿赫代数的代数同态的线性映射的有界性。
• 分析配备正规、半有限、忠实权且其GNS左理想具有M-不变代数补全的W*-代数的结构。

提出的方法

• 通过存在一个双射反线性算子T满足TMT⁻¹ = M′ 且对所有z ∈ Z(M)有TzT⁻¹ = z*，引入冯诺依曼代数M标准性的判据。
• 使用广义BT定理的版本，将经典结果推广至更广泛的互换算子类，证明此类算子T必然是有界的。
• 建立一个关于互换冯诺依曼代数上的恒等映射与有界实线性算子值映射的算子的一般自动连续性定理（定理5.1）。
• 利用广义BT定理，证明任何实现从冯诺依曼代数到巴拿赫代数的代数同态的线性算子必然是自动有界的。
• 分析W*-代数M上正规、半有限、忠实权φ的GNS表示，重点关注Hφ中左理想Nφ是否具有M-不变代数补全。
• 通过Hamel基显式构造无限维希尔伯特空间上的无界线性与反线性对合算子，以说明有界性假设的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，希尔伯特空间H上的冯诺依曼代数M是标准的，即通过反线性共轭空间同构于其超商代数？
• RQ2 是否存在一种反线性、处处定义、可逆算子T，其互换M与M′，且在Z(M)上作用为*，即使未预先假定有界，也必然是有界的？
• RQ3 何种一般条件可确保互换冯诺依曼代数上的恒等映射与有界实线性算子值映射的算子自动有界？
• RQ4 若GNS左理想Nφ在Hφ中具有M-不变代数补全，这对配备正规、半有限、忠实权φ的W*-代数M的结构有何影响？
• RQ5 是否存在无限维希尔伯特空间上的无界线性或反线性对合算子？若存在，如何通过Hamel基构造？

主要发现

• 冯诺依曼代数M是标准的，当且仅当存在一个双射反线性算子T: H → H，使得TMT⁻¹ = M′ 且对所有z ∈ Z(M)有TzT⁻¹ = z*。
• 此类互换算子T即使未预先假定有界，也必然是有界的，从而确立了该类算子的自动连续性。
• 广义BT定理（定理4.1）确保任何互换冯诺依曼代数上的恒等映射与有界实线性算子值映射的算子必然是自动有界的。
• 自动连续性结果（定理5.1）表明，任何实现从冯诺依曼代数到巴拿赫代数的代数同态的线性算子必然是有界的。
• 对于配备正规、半有限、忠实权φ的W*-代数M，若GNS左理想Nφ在Hφ中具有M-不变代数补全，则M必为有限维的。
• 存在通过Hamel基构造的、具有有限个连续坐标泛函的无限维希尔伯特空间上的无界线性与反线性对合算子。