[论文解读] Quantitative equidistribution of eigenvalues of Random Normal Matrices in the Wasserstein distance

P. García Arias|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2026

Random Matrices and Applications被引用 0

一句话总结

论文提出一种热平滑方法，用以界定若干点过程（尤其是随机正态矩阵）经验分布与其极限平衡分布之间的期望 2- Wasserstein 距离，并给出 RNMs、Ginibre、Bessel 以及平面 GAF 零集的结果。

ABSTRACT

The object of study in this paper is the expected $2$-Wasserstein distance between the empirical measures of several point processes and their respective limit. For this, the main tool developed is a smoothing procedure in Euclidean spaces using the heat equation with Neumann boundary conditions. It is applied to the spectrum of Random Normal Matrices with extit{reasonable} assumptions, as well as to several families of Homogeneous Point Processes such as the infinite Ginibre ensemble, the Bessel ensemble, and the zero set of the planar Gaussian Analytic Function.

研究动机与目标

• 通过 Wasserstein 距离量化点过程的均匀分布误差的动机。
• 引入使用 Neumann 热方程的平滑过程，以比较经验度量与极限分布。
• 在适当正则性假设下，为 RNMs 和齐次点过程给出期望的 2-Wasserstein 距离界限。

提出的方法

• 在紧致凸欧几里得域上建立热平滑不等式，将 Wasserstein 距离与负 Sobolev 篇范联系起来。
• 对经验度量进行平滑，并通过 Dirichlet 拉普拉斯特征结构控制传输。
• 利用投影 DPP 的再生核性质，表达线性统计量的方差和协方差。
• 推导将 Wasserstein 距离与对 Neumann 拉普拉斯的傅里叶系数相关联的界限。
• 将其具体化到带势 Q 的随机正态矩阵模型，以及 Ginibre、Bessel 和平面 GAF 零集等齐次点过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凸滴下假设下，RNM 光谱经验分布与平衡分布之间的期望 2-Wasserstein 距离是否可以定量地界定？
• RQ2 在方差界 Var(sum f(x)) ≤ L2 范数的假设下，齐次点过程的 Wasserstein 距离与均匀测度的界限如何？
• RQ3 通过 Neumann 热方程的平滑如何通过 Sobolev 范数和谱数据控制 Wasserstein 距离？
• RQ4 推论是否将 RNM 与 DPP 框架扩展到无限 Ginibre、Bessel 和平面 GAF 零集？
• RQ5 势、滴、边界的正则性假设在实现界限中起到怎样的作用？

主要发现

• 对于具有凸滴和正则势的 RNMs，期望的 W2 距离由 sqrt(log N)/sqrt N 的因子界定。
• 对于 Var(sum f(x)) ≤ Var 条件下的齐次点过程，期望 W2 距离到均匀测度的尺度在 d=2 时为 sqrt(log L)/sqrt L，在 d>2 时为 L^{-1/d}。
• 推论表明界限适用于无限 Ginibre 集合、Bessel 集合以及平面 GAF 的零集。
• 热平滑不等式给出具体界限：W2(mu, nu) 受热核平滑和类似 Sobolev 项共同控制。
• 该平滑方法在 Ginibre 及相关过程的结果上实现了回收并扩展，在所述假设下达到最优速率（对数因子除外） 。