[论文解读] Quantitative Estimates on the Topology and Singular Set of Prescribed Mean Curvature Hypersurfaces

Nicolau S. Aiex, Sean McCurdy+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2026

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 0

一句话总结

作者为带有界面积和规定平均曲率的指定位义的PMC（规定平均曲率）超曲面建立了定量的拓扑与奇点集界限，将极小和恒定平均曲率情形的结果通过极值构造的实例推广到PMC。

ABSTRACT

We establish quantitative topological and singularity properties for (certain) prescribed mean curvature (PMC) hypersurfaces $V^n$ in Riemannian manifolds $(N^{n+1},h)$. Indeed, if $V$ has area at most $A>0$ with PMC given by a $C^{1,α}$ function $g:N o \mathbb{R}$ with the bound $|g|_{C^{1,α}}\leq Γ$, we show that there exists a constant $C$ depending only on $n,h,A,Γ$ and geometric quantities such that: \[\sum^n_{i=0}b^i(V) \leq C(1+ ext{index}(V)) \quad ext{if }3\leq n+1\leq 7;\] \[M^{*n-7}( ext{sing}(V)) \leq C(1+ ext{index}(V)) \quad ext{if }n+1\geq 8.\] Here, $b^i$ denote the Betti numbers over any field, $M^{*n-7}$ denotes the upper $(n-7)$-dimensional Minkowski content, and $ ext{sing}(V)$ is the singular set of $V$. The first inequality extends the work of Song from the minimal hypersurface setting to the PMC hypersurface setting, whilst the second extends work of the authors. Our results apply to the PMC hypersurfaces constructed recently through min-max techniques by Bellettini--Wickramasekera.

研究动机与目标

• 在黎曼流形中 motivate PMC 超曲面的拓扑与奇点的定量控制。
• 通过引入带有界限的规定平均曲率函数 g，将最小超曲面的结果扩展到 PMC。
• 给出Betti数和奇点集（Minkowski 内容）在面积和指标的条件下的界限。

提出的方法

• 将 PMC 超曲面建模为带有规定平均曲率 g 的参数化椭圆泛函的临界点。
• 将 spt(V) 分解为 gen-reg V 与真实奇点集以处理自相交。
• 利用稳定半径和覆盖论证将指标界限与局部稳定性联系起来，并控制奇点层。
• 应用定量分级分层与适用于 PMC 情况的 Naber–Valtorta 型估计。
• 利用 Bellettini–Wickramasekera 的 PMC 超曲面正则性结果来为 PMC 框架提供正当性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 3 到 7 的情况下，面积界和有限指标如何约束 V 的拓扑（Betti 数）？
• RQ2 在维度 8 及以上的情况下，V 的奇点集的 (n−7) 维 Minkowski 内容如何通过指标界来约束？
• RQ3 从极小超曲面理论的技巧是否可改编到具有符号变化 g 的 PMC 超曲面，并仍能给出关于拓扑和奇点的定量界？
• RQ4 通过极值极值法构建的 PMC 超曲面的局部正则性与稳定性含义（Bellettini–Wickramasekera）？

主要发现

• 在 3 ≤ n+1 ≤ 7 的情形，V 的 Betti 数之和被一个常数乘以（1 + index(V)）所界定；
• 在 n+1 ≥ 8 时，V 的奇点集的 (n−7) 维 Minkowski 内容被一个常数乘以（1 + index(V)）所界定；
• 界限取决于环境几何、面积上界 A、以及 g 的 C^{1,α} 范数上界 Γ，以及用于定义可允许类的额外数据 Λ、μ、μ1；
• 结果适用于通过极值极值法构建的 PMC 超曲面，将最小超曲面的结果扩展到 PMC 情形；
• 该框架区分真实奇点与切向自相交，并利用稳定半径来控制局部覆盖性。