[论文解读] Quantitative Harris type theorems for diffusions and McKean-Vlasov processes

Andreas Eberle, Arnaud Guillin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 57被引用 131

一句话总结

本文给出扩散和 McKean–Vlasov 扩散的定量 Harris 型收缩结果，利用李雅普诺夫函数和反射耦合，给出显式的 Kantorovich 收缩率及若干推论（遍历界、梯度界，以及亚几何结果）。

ABSTRACT

We consider $\\mathbb{R}^d$-valued diffusion processes of type \\begin{align*} dX_t\\ =\\ b(X_t)dt\\, +\\, dB_t. \\end{align*} Assuming a geometric drift condition, we establish contractions of the transitions kernels in Kantorovich ($L^1$ Wasserstein) distances with explicit constants. Our results are in the spirit of Hairer and Mattingly's extension of Harris' Theorem. In particular, they do not rely on a small set condition. Instead we combine Lyapunov functions with reflection coupling and concave distance functions. We retrieve constants that are explicit in parameters which can be computed with little effort from one-sided Lipschitz conditions for the drift coefficient and the growth of a chosen Lyapunov function. Consequences include exponential convergence in weighted total variation norms, gradient bounds, bounds for ergodic averages, and Kantorovich contractions for nonlinear McKean-Vlasov diffusions in the case of sufficiently weak but not necessarily bounded nonlinearities. We also establish quantitative bounds for sub-geometric ergodicity assuming a sub-geometric drift condition.

研究动机与目标

• 推动对扩散在小集条件之外的趋近平衡的定量控制。
• 利用李雅普诺夫漂移与反射耦合发展显式的 Kantorovich 收缩界。
• 推导出诸如带权总变差的指数收敛、梯度界和遍历平均等结果。
• 将框架扩展到非线性性不一定有界但较弱的 McKean–Vlasov 扩散。
• 在亚几何漂移条件下提供亚几何遍历性结果。

提出的方法

• 将漂移的广义单边 Lipschitz 条件与李雅普诺夫漂移条件结合使用。
• 构造针对漂移和李雅普诺夫函数量身定做的加法型与乘法型 Kantorovich（Wasserstein）距离。
• 使用反射耦合和凹距离函数在 W_rho 距离上获得收缩。
• 推导出刻画 Kantorovich 收缩的显式收缩率 c 和函数 f。
• 将该方法扩展到 McKean–Vlasov 扩散并分析非线性均值场相互作用。
• 考虑亚几何漂移条件以获得亚几何遍历性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几何漂移且不依赖小集条件的情况下，是否能在 Kantorovich 距离中获得显式收缩率？
• RQ2 李雅普诺夫函数与定制度量如何给扩散半群产生定量的 Harris 型界？
• RQ3 这类收缩结果对遍历平均、梯度界以及趋近平衡的后果是什么？
• RQ4 该框架能否扩展到具有弱非线性性的非线性（McKean–Vlasov）扩散？
• RQ5 在亚几何漂移条件下，收缩结果会如何变化？

主要发现

• 在几何漂移下的扩散在 Kantorovich 距离上的收缩，带有显式常数。
• 转移半群在带权总变差范数中的指数收敛及梯度界。
• 遍历平均和有限时间混合速率的定量界。
• 在非线性性足够弱的情况下，将收缩结果扩展到非线性 McKean–Vlasov 扩散。
• 在亚几何漂移条件下提供亚几何遍历性结果。