[论文解读] Quantitative recurrence properties of expanding maps

José Fernández, María V. Melián+1 more|ArXiv.org|Mar 8, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 40被引用 14

一句话总结

本文通过分析轨道无限次返回固定点附近收缩邻域的集合大小，为扩张映射建立了定量的遍历性质。利用映射的熵、在该点的局部维数以及邻域半径的衰减速率，推导出此类遍归集的豪斯多夫维数和测度的精确界限。

ABSTRACT

Under a map T, a point x recurs at rate given by a sequence {r_n} near a point x_0 if d(T^n(x),x_0)< r_n infinitely often. Let us fix x_0, and consider the set of those x's. In this paper, we study the size of this set for expanding maps and obtain its measure and sharp lower bounds on its dimension involving the entropy of T, the local dimension near x_0 and the upper limit of 1/n log 1/r_n. We apply our results in several concrete examples including subshifts of finite type, Gauss transformation and inner functions.

研究动机与目标

• 通过收缩邻域 $B(x_0, r_n)$ 量化扩张映射下轨道对固定点 $x_0$ 的遍归性。
• 确定其轨道无限次返回这些收缩邻域的点的集合的测度与豪斯多夫维数。
• 将这些遍归性质与映射的拓扑熵、$x_0$ 处的局部维数以及 $r_n$ 的衰减速率联系起来。
• 将已知的遍归结果（如庞加莱和博舍尼茨坦）推广至对任意固定点 $x_0$ 的遍归，而非仅对点本身。
• 将一般框架应用于具体系统：有限型子移位、高斯变换、内函数以及紧流形上的扩张自同态。

提出的方法

• 为固定点 $x_0$ 和序列 $\{r_n\}$ 定义遍归集 $R_{x_0}(\{r_n\}) = \{x \in X : d(T^n(x), x_0) < r_n \text{ i.o.} \}$。
• 利用扩张映射存在且唯一的绝对连续不变概率测度（ACIPM）$\mu$。
• 通过雅可比行列式 $\mathbf{J}$ 及其 Hölder 连续性，应用扭曲估计以控制前像间测度比。
• 通过公式 $\dim_H R_{x_0}(\{r_n\}) \geq \frac{h}{\chi} + \underline{\lim} \frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$ 将衰减速率 $\frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$ 与遍归维数联系起来，其中 $h$ 为熵，$\chi$ 为李雅普诺夫指数。
• 利用马尔可夫划分结构与有界扭曲性质，控制前像及其测度的几何结构。
• 将结果应用于具体系统：高斯映射、通过 $S(t) = \cot \pi t$ 定义的内函数，以及紧流形上具有有限熵的扩张自同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 轨道无限次返回固定点 $x_0$ 的收缩邻域 $B(x_0, r_n)$ 的点的集合的豪斯多夫维数是多少？
• RQ2 遍归维数如何依赖于映射的熵、$x_0$ 处的局部维数以及 $r_n$ 的衰减速率？
• RQ3 对点本身遍归的定量结果能否推广至对任意固定点 $x_0$ 的遍归？
• RQ4 高斯变换与内函数的遍归性质是否满足与一般扩张映射相同的维数界？
• RQ5 在具有有限熵的扩张映射背景下，遍归集在何种条件下具有正测度或全维？

主要发现

• 遍归集 $R_{x_0}(\{r_n\})$ 的豪斯多夫维数满足 $\dim_H R_{x_0}(\{r_n\}) \geq \frac{h}{\chi} + \underline{\lim}_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$，其中 $h$ 为拓扑熵，$\chi$ 为李雅普诺夫指数。
• 对于高斯变换，当 $r_n = n^{-\alpha}$（$\alpha > 0$）时，遍归集具有全豪斯多夫维数 $1$，这是由于其具有有限熵与马尔可夫结构。
• 对于具有有限熵且在单位圆盘内含固定点的内函数，其对应的马尔可夫变换 $T(t) = S(t) \mod 1$ 满足遍归界，且熵有限：$h(f) = \log\left(\frac{1}{1-p^2}\log\frac{1}{p^2}\right) < \infty$。
• 在紧黎曼流形上定义的扩张自同态的遍归集，其豪斯多夫维数为正，且下界为 $\frac{h}{\chi}$，其中 $h$ 有限且 $\chi > 0$。
• 在均匀混合假设下，当 $\sum_{n=1}^\infty \lambda(B(x_0, r_n)) = \infty$ 时，遍归集的测度为正（通常为全测度）。
• 结果是精确的，因为在高斯映射与伯努利位移等例子中，下界可被达到，此时遍归结构为完全马尔可夫且一致扩张。