[论文解读] Quantitative Reifenberg theorem for measures

Nick Edelen, Aaron Naber+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用 7

一句话总结

本文在不假设密度或Ahlfors正则性条件下，为$ℝ^n$中的任意非负Borel测度建立了定量Reifenberg定理，使用$β_2$-数控制测度与可求长性。它给出了远离$k$-可求长集的测度的显式界，并证明在温和条件下，所有尺度上的$β_2$-估计蕴含可求长性与上Ahlfors正则性。

ABSTRACT

We study generalizations of Reifenberg's Theorem for measures in $\mathbb R^n$ under assumptions on the Jones' $β$-numbers, which appropriately measure how close the support is to being contained in a subspace. Our main results, which holds for general measures without density assumptions, give effective measure bounds on $μ$ away from a closed $k$-rectifiable set with bounded Hausdorff measure. We show examples to see the sharpness of our results. Under further density assumptions one can translate this into a global measure bound and $k$-rectifiable structure for $μ$. Applications include quantitative Reifenberg theorems on sets and discrete measures, as well as upper Ahlfor's regularity estimates on measures which satisfy $β$-number estimates on all scales.

研究动机与目标

• 将Reifenberg定理推广至无需Ahlfors正则性或密度界假设的一般测度。
• 量化在所有尺度上使用$β_2$-数逼近测度与$k$-平面的接近程度。
• 为测度中无法良好逼近于$k$-平面的部分建立有效的测度与打包界。
• 证明在温和条件下，所有尺度上的$β_2$-估计蕴含$k$-可求长性与上Ahlfors正则性。
• 提供紧实例以说明假设的必要性及界值的最优性。

提出的方法

• 基于$β_2$-数将测度空间进行 dyadic 分解，划分为'好'与'坏'立方体。
• 构建一个'好'立方体树，使得测度在$k$-平面上有良好逼近，通过倾斜控制与打包控制实现。
• 应用广义质心与倾斜控制，确保在所有尺度上逼近的一致性。
• 使用覆盖论证与打包估计，控制逼近失败的'坏'集合的测度。
• 利用$β_2$-估计与'好'树的结构，将测度分解为可求长、零测度与多余部分。
• 应用几何测度论中的定理，从$β_2$-可和性条件推出可求长性与上Ahlfors正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无密度假设下，基于$β_2$-数估计，获得一般测度的有效测度界？
• RQ2 测度界对$β_2$-可和性常数与逼近参数$ϵ$的最优依赖关系为何？
• RQ3 在何种条件下，所有尺度上的$β_2$-估计蕴含测度的$k$-可求长性？
• RQ4 在缺乏下或上Ahlfors正则性时，结果如何表现？
• RQ5 结果能否推广至离散测度与集合？在此情境下的紧实例为何？

主要发现

• 对于$ℝ^n$上的任意Borel测度$μ$，若对所有$x$有$\int_0^1 \beta^k_{\mu,2}(x,r)^2 \frac{dr}{r} \leq M$，则$μ$在小测度集之外是$k$-可求长的。
• 无法良好逼近于$k$-平面的测度部分的测度被界为$c(n)(\epsilon + M)$，其中$ϵ$控制逼近误差。
• $μ$的$k$-可求长部分满足$\mathcal{H}^k \llcorner \mathcal{K}_0 \leq c(k)\epsilon^{-1} \mu$在开集上成立，提供了对可求长部分的定量控制。
• 若$μ$在所有尺度上满足$β_2$-估计，则$μ$在零测度集之外是上Ahlfors正则的，且有$\mu(B_r(x)) \leq c(n)(1 + M/\epsilon)r^k$。
• $β_2$-估计意味着$μ$-几乎处处的上密度$Θ^{*,k}(\mu,x) \leq 1$，这是迈向可求长性的关键步骤。
• 结果是紧的：实例表明，若无额外假设，界值无法改进，即使在无密度界时亦然。