[论文解读] Quantitative weak mixing for random substitution tilings

Rodrigo Treviño|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文在高维情形下建立了随机替换填充图谱测度局部维数的定量下界，扩展了Bufetov-Solomyak在一维系统中的工作。通过分析扭曲遍历积分，并运用与布雷特利图和迹上链有关的上同调技术，证明了填充空间上$\mathbb{R}^d$作用的均匀弱混合性，表明谱测度无法集中在点上——提供了对特征函数存在的定量阻碍。

ABSTRACT

For $N$ compatible substitution rules on $M$ prototiles $t_1,\dots,t_M$, consider tilings and tiling spaces constructed by applying the different substitution rules at random. These give (globally) random substitution tilings. In this paper I obtain bounds for the growth on twisted ergodic integrals for the $\mathbb{R}^d$ action on the tiling space which give lower bounds on the lower local dimension of spectral measures. For functions with some extra regularity, uniform bounds on the lower local dimension are obtained. The results here extends results of Bufetov-Solomyak to tilings of higher dimensions.

研究动机与目标

• 将一维情形下的定量弱混合结果推广至高维随机替换填充。
• 建立$\mathbb{R}^d$作用于填充空间时谱测度局部维数的下界。
• 通过分析扭曲遍历积分与返回向量动力学，证明均匀弱混合性。
• 表明谱测度不能为狄拉克测度，从而排除存在非平凡谱集中特征函数的可能性。

提出的方法

• 使用扭曲遍历积分$\mathcal{S}^{\mathcal{T}}_R(f,\lambda)$来量化谱测度的集中程度。
• 应用Veech准则及其上同调精化，将谱性质与返回向量动力学联系起来。
• 利用布雷特利图与归纳极限$C^*$-代数来建模填充空间及其迹空间。
• 分析迹上链$\Theta^{(k)}_x$与重整化映射$\Phi_x$，以追踪不同尺度下的谱行为。
• 采用ErdÖs-Kahane方法，控制动力学在上同调中避开格点的时间密度。
• 应用微分形式与$d_\eta$-上同调，通过$d_\eta f = 0$研究特征函数的阻碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在超越一维的情形下，为$\mathbb{R}^d$中的随机替换填充建立定量弱混合性？
• RQ2 此类系统中谱测度的下局部维数可建立何种下界？
• RQ3 扭曲遍历积分如何与谱测度集中性及特征函数阻碍相关联？
• RQ4 返回向量动力学与迹上链在多大程度上控制谱性质？
• RQ5 对于具有额外正则性的函数，能否获得局部维数的统一下界？

主要发现

• 对于$\bar{\Delta}^0_{\mathcal{T}}$中的函数，谱测度的下局部维数有下界2，意味着$d_f^-(\lambda) \geq 2$。
• 对于$f \in \bar{\Delta}^0_{\mathcal{T}}$，谱测度满足$\mu_f(B_r(\lambda)) \leq C' r^2$（当$r < 1/2$时），确认$d_f^-(\lambda) \geq 2$。
• 若$\eta = \sum \eta_k dx_k$非恒定，则上同调方程$d_\lambda u = \omega$无解，意味着$H^0_\eta(\Omega;\mathbb{C})$平凡。
• 该系统为均匀弱混合：不存在非平凡的$L^2$特征函数，因为谱测度不能为狄拉克测度。
• 迹上链$\Theta^{(k)}_x$控制扭曲积分的增长，从而实现对谱测度衰减的定量估计。
• 当$\Phi_x^{(n)*}[\mathrm{д}](\lambda)$在上同调中远离格点的时间密度$\mathcal{D}_N^x$有上界且远离1，防止了谱集中。