[论文解读] Quantization and Derived Moduli Spaces I : Shifted Symplectic Structures

Tony Pantev, G. Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文引入了n-辛结构——辛几何在导出阿廷n-堆上的推广——用于导出阿廷n-堆，证明了半单群的分类堆与完美复形的导出堆均携带规范的2-辛结构。本文建立了一个关键结果：若X是d维的卡拉比-丘流形，F是n-辛的导出堆，则导出映射堆Map(X,F)继承一个规范的(n−d)-辛结构，从而产生新的具有辛结构的导出模空间例子，包括在卡拉比-丘流形与流形上的完美复形的导出模空间。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers about quantization in the context of derived algebraic geometry. In this first part, we introduce the notion of n-symplectic structures, a generalization of the notion of symplectic structures on smooth varieties and schemes, meaningful in the setting of derived Artin n-stacks (see [HAG-II, To2]). We prove that classifying stacks of reductive groups, as well as the derived stack of perfect complexes, carry canonical 2-symplectic structures. Our main existence theorem states that for any derived Artin stack F equipped with an n-symplectic structure, the derived mapping stack Map(X,F) is equipped with a canonical (n − d)-symplectic structure as soon a X satisfies a Calabi-Yau condition in dimension d. These two results imply the existence of many examples of derived moduli stacks equipped with n-symplectic structures, such as the derived moduli of perfect complexes on CalabiYau varieties, or the derived moduli stack of perfect complexes of local systems on a compact and oriented topological manifold. We explain how the known symplectic structures on smooth moduli spaces of simple objects (e.g. simple sheaves on CalabiYau surfaces, or simple representations of π1 of compact Riemann surfaces) can be recovered from our results, and that they extend canonically as 0-symplectic structures outside of the smooth locus of simple objects. We also deduce new existence statements, such as the existence of a natural (−1)-symplectic structure (whose formal counterpart has been previously constructed in [Co, Co-Gw]) on the derived mapping

研究动机与目标

• 通过n-辛结构的概念，将辛结构推广至导出阿廷n-堆。
• 建立半单群的分类堆与完美复形的导出堆上规范2-辛结构的存在性。
• 证明当X为卡拉比-丘d-流形时，导出映射堆Map(X,F)上存在(n−d)-辛结构的一般存在性定理。
• 将已知的光滑模空间上的辛结构作为特例恢复，并通过0-辛结构将其规范地推广至奇点集。
• 推导出新存在性结果，例如在紧致、定向流形上的导出映射堆上存在自然的(−1)-辛结构。

提出的方法

• 在导出阿廷n-堆的背景下，引入n-辛结构作为辛几何的导出推广概念。
• 利用高阶堆与导出代数几何的框架，特别是来自[HAG-II, To2]的理论，来定义并分析n-辛结构。
• 应用流形X的卡拉比-丘条件，以在导出映射堆Map(X,F)上将辛度数从n移至(n−d)。
• 利用完美复形的导出堆与半单群分类堆上的规范2-辛结构作为基础示例。
• 将导出映射堆Map(X,F)构造为导出模空间，并证明其余切复形携带一个非退化的(n−d)-移位辛形式。
• 通过形式与几何论证，表明先前已知的光滑模空间上简单对象的辛结构可规范地扩展至奇点集，成为0-辛结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将辛结构推广至经典光滑情形之外的导出代数堆？
• RQ2 在何种条件下，当F为n-辛堆时，基流形X的导出映射堆Map(X,F)会继承一个移位辛结构？
• RQ3 能否通过导出方法恢复并扩展模空间上简单层或表示的已知辛结构，使其超越光滑区域？
• RQ4 卡拉比-丘条件对导出映射堆上辛度数的移位有何影响？
• RQ5 该框架会产生哪些新的导出模空间堆的例子，其具有移位辛结构，特别是针对卡拉比-丘流形或流形？

主要发现

• 完美复形的导出堆与半单群的分类堆均携带规范的2-辛结构。
• 对于任意具有n-辛结构的导出阿廷堆F，当X为卡拉比-丘d-流形时，导出映射堆Map(X,F)继承一个规范的(n−d)-辛结构。
• 卡拉比-丘曲面上简单层的光滑模空间与紧致黎曼曲面上基本群π₁的简单表示的光滑模空间上的辛结构，均为该一般构造的特例。
• 这些已知的辛结构可规范地扩展至整个模空间，包括奇点集，成为0-辛结构。
• 在紧致、定向拓扑流形上的导出映射堆上存在一个新的(−1)-辛结构，扩展了先前的形式构造。
• 该框架为生成具有移位辛结构的导出模空间堆提供了系统性方法，包括在卡拉比-丘流形上的完美复形的导出模空间。