[论文解读] Quantization of Field Theory on the Light Front

V. A. Franke, S. A. Paston+2 more|ArXiv.org|Apr 4, 2004

Photonic and Optical Devices参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文提出了一套在光Front（LF）上进行量子场论的规范量子化框架，解决了构建与标准场论等价的洛伦兹对称和规范对称哈密顿量的挑战。该研究将LF微扰理论与费曼规则进行比较，推导出QED-1+1和QCD-3+1的自洽LF哈密顿量，并通过在$x^{-}$方向采用横向晶格和周期性边界条件，提出一种规范不变的正则化方法，避免了对零模的约束，同时保持了微扰等价性。

ABSTRACT

Canonical formulation of quantum field theory on the Light Front (LF) is reviewed. The problem of constructing the LF Hamiltonian which gives the theory equivalent to original Lorentz and gauge invariant one is considered. We describe possible ways of solving this problem: (a) the limiting transition from the equal-time Hamiltonian in a fast moving Lorentz frame to LF Hamiltonian, (b) the direct comparison of LF perturbation theory in coupling constant and usual Lorentz-covariant Feynman perturbation theory. The results of the application of method (b) to QED-1+1 and QCD-3+1 are given. Gauge invariant regularization of LF Hamiltonian via introducing a lattice in transverse coordinates and imposing periodic boundary conditions in LF coordinate x^- for gauge fields on the interval |x^-| smaller than L is also considered.

研究动机与目标

• 建立一个在光Front上进行量子场论规范量子化的框架，以保持洛伦兹对称性和规范对称性。
• 解决构建与标准洛伦兹协变场论等价的光Front哈密顿量的挑战。
• 通过与费曼微扰理论的直接比较，为QED-1+1和QCD-3+1提供微扰等价的LF哈密顿量。
• 通过在横向坐标上使用晶格和在$x^{-}$方向采用周期性边界条件，开发一种规范不变的正则化方案，避免对零模施加约束。

提出的方法

• 使用光Front坐标$x^{\pm} = (x^0 \pm x^3)/\sqrt{2}$，以$x^+$作为时间，定义在$x^+ = \text{const}$超曲面上的规范量子化。
• 应用从快速运动洛伦兹参考系到光Front的极限过渡，关联等时哈密顿量与光Front哈密顿量。
• 通过将LF微扰理论在耦合常数上的展开与标准洛伦兹协变费曼规则进行直接比较，推导出等价的LF哈密顿量。
• 通过在横向坐标$(x^1, x^2)$上使用晶格和在$x^{-}$方向采用周期性边界条件$|x^{-}| < L$，实现规范不变的正则化，将横向规范场视为晶格连线上复矩阵。
• 使用离散的动量模式$p_{-} = \pi n / L$，避免$p_{-} = 0$发散，并消除零模约束。
• 通过从哈密顿形式体系导出的代数关系求解零模的约束方程，避免在物理希尔伯特空间中显式依赖于零模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个光Front哈密顿量，使其微扰展开与标准洛伦兹协变费曼微扰理论相匹配？
• RQ2 尽管标准正则化方案会破坏这些对称性，如何在光Front量子化中保持洛伦兹对称性和规范对称性？
• RQ3 零模在光Front场论中起什么作用？如何在哈密顿形式体系中一致地处理它们？
• RQ4 能否在光Front上构建一种规范不变的正则化方案，避免求解涉及零模的复杂约束方程？
• RQ5 通过在$x^{-}$方向采用周期性边界条件和晶格正则化进行离散化，是否能导致一个微扰等价的理论？

主要发现

• 通过与费曼微扰理论的直接比较推导出的LF哈密顿量，确保了在QED-1+1和QCD-3+1中与原始洛伦兹不变理论的微扰等价性。
• 通过在$|x^{-}| < L$范围内对$x^{-}$方向采用周期性边界条件进行正则化，离散化了$p_{-}$，消除了$p_{-} = 0$发散，实现了清晰定义的福克空间量子化。
• 在横向坐标$x^1, x^2$上采用矩阵型规范变量的晶格正则化，避免了求解零模与非零模之间复杂约束方程的需求。
• 该方法实现了规范不变的正则化，保持了原始理论在量子层面的结构，避免了对称性异常。
• 在$\varepsilon \to 0$和$L \to \infty$的极限下，该构造被证明是一致的，前提是被积函数的有界性得到统一控制，从而确保路径积分收敛且极限在微分下保持有效。
• 在矩阵$A$的特征值始终远离零的条件下，证明了振幅$\hat{\varphi}$中不存在奇点，从而保证了微扰展开的有效性。