[论文解读] Quantization of Lie bialgebras revisited

Pavol Ševera|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖且简化的李双代数的量化方法，通过在辫子张量范畴中使用辫子余单函子和余交换余代数。通过将函子作用于余代数的cobar构造以构造霍普夫代数，该方法避开了对双代数进行量化的需要，提供了一条更直接的量化路径，同时仍依赖于大野关联器，并适用于无穷小辫子李双代数。

ABSTRACT

We describe a new method of quantization of Lie bialgebras, based on a construction of Hopf algebras out of a cocommutative coalgebra and a braided comonoidal functor.

研究动机与目标

• 开发一种新的、更直接的李双代数函子化量化方法，避免先前方法中对双代数进行复杂量化的做法。
• 在可逆性条件下，建立从余交换余代数和辫子余单函子构造霍普夫代数的方法。
• 将该方法推广至对无穷小辫子李双代数进行量化，得到辫子霍普夫代数。
• 通过单纯结构和不变量，提供一种基于群的单体的几何与范畴解释，以类比量化过程。

提出的方法

• 该方法从一个在辫子张量范畴 $\mathcal{D}$ 中的余交换余代数 $M$ 和一个从 $\mathcal{D}$ 到另一个辫子张量范畴 $\mathcal{C}$ 的辫子余单函子 $F:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 构造霍普夫代数。
• 使用 cobar 构造 $E_nM = M^{n+1}$ 作为 $\mathcal{D}$ 中的单纯余代数，即使 $M$ 是余交换的，该结构也未必是余交换的。
• 将函子 $F$ 应用于此单纯结构，形成 $B_nM = F(E_nM)$，霍普夫代数结构在 $B_1M = F(M \otimes M)$ 上实现。
• 在 $F(M \otimes M)$ 上的余乘积和乘积由面映射与辫子张量积导出，其相容性由 $F$ 的辫子余单结构保证。
• 该构造依赖于 $F$ 的自然变换的可逆性条件，以确保结果代数为霍普夫代数。
• 通过将 $C^\infty(G)$ 视为 $U\mathfrak{d}$-模范畴中的余代数，并令 $F$ 为取 $\mathfrak{g}$-不变量，将该方法应用于李双代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不量化李双代数的双代数的前提下，直接从余交换余代数和辫子余单函子构造出霍普夫代数？
• RQ2 cobar 构造的单纯结构与量化过程中霍普夫代数结构之间有何关系？
• RQ3 该方法能否扩展至对无穷小辫子李双代数进行量化，得到辫子霍普夫代数？
• RQ4 大野关联器在此构造中的作用是什么？与 Etingof-Kazhdan 或 Tamarkin 方法中的作用相比有何异同？
• RQ5 群的单体的几何解释如何推广至辫子范畴中的余代数？

主要发现

• 在可逆性条件下，该构造从余交换余代数 $M$ 和辫子余单函子 $F$ 在 $F(M \otimes M)$ 上生成了一个霍普夫代数。
• 该方法避免了对李双代数双代数进行量化的需要，与 Etingof-Kazhdan 方法相比，整体量化过程更为简化。
• 在 $C^\infty(G)$ 上得到的乘积是一个星积，量化了泊松结构 $\pi$，其一阶项为 $\frac{\hbar}{2}\{f_1,f_2\}$。
• 在 $C^\infty(G)$ 上的余乘积形式为 $\Delta_\hbar = D_\hbar \circ \Delta_0$，其中 $D_\hbar$ 是一个形变经典余乘积的微分算子。
• 该构造在范畴 $U\mathfrak{d}\text{-mod}_\hbar^\Phi$ 中提供了单纯流形 $E_\bullet G = G^{\bullet+1}$ 的形变量化，该量化可下降至对单体 $B_\bullet G$ 的量化。
• 该方法适用于无穷小辫子李双代数，通过相同的函子机制生成辫子霍普夫代数。