[论文解读] Quantization of moduli spaces of flat connections and Liouville theory

J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用 15

一句话总结

本文建立了黎曼曲面上 PSL(2,R)-平坦联络的模空间的量化与李乌维尔共形场论之间的深刻联系。通过使用丛代数结构和等单多值变形理论，证明了李乌维尔理论中的共形块是量子泰希米勒理论的解，其中模空间上的量子迹函数实现了维拉索罗代数的表示。关键结果是等单多值 τ 函数与李乌维尔配分函数之间的精确对应，为该语境下 AGT 对应关系提供了数学实现。

ABSTRACT

We review known results on the relations between conformal field theory, the quantization of moduli spaces of flat PSL(2,R)-connections on Riemann surfaces, and the quantum Teichmueller theory.

研究动机与目标

• 阐明量子泰希米勒理论、PSL(2,R)-平坦联络的模空间与共形场论之间的数学关系。
• 建立等单多值 τ 函数与李乌维尔共形块之间的精确对应关系。
• 证明泰希米勒空间的量化通过维拉索罗代数的表示理论实现。
• 为非紧黎曼曲面与双曲几何语境下的 AGT 对应关系提供几何与代数框架。

提出的方法

• 利用剪切坐标与三角剖分参数化 PSL(2,R)-平坦联络的模空间，赋予其丛代数结构。
• 通过泊松括号 {X_e, X_e'} = n_{e,e'} X_e' X_e 定义经典辛结构，其中 n_{e,e'} 由胖图中对偶边的交叉指数导出。
• 构造作为缝合代数生成元的量子迹函数 L_γ，满足通过平滑操作得到的缝合关系 L_γ1 L_γ2 = L_{S(γ1,γ2)}。
• 通过证明迹函数在共形块上实现维拉索罗生成元的作用，将量子泰希米勒空间与维拉索罗代数联系起来。
• 利用 BPZ 方程与等单多值变形理论，推导出李乌维尔配分函数与等单多值 τ 函数之间的关系。
• 应用广义傅里叶变换对由单值性作用产生的差分算子进行对角化，从而实现共形块的显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 PSL(2,R)-平坦联络模空间的量化如何与黎曼曲面上的共形场论相关？
• RQ2 在量子泰希米勒理论与李乌维尔理论的语境下，AGT 对应关系的精确数学实现是什么？
• RQ3 等单多值 τ 函数能否与李乌维尔配分函数相等？若能，其条件是什么？
• RQ4 模空间上的迹函数 L_γ 如何在量子设定下实现维拉索罗代数的作用？
• RQ5 丛代数结构在连接经典与量子泰希米勒理论与共形场论方面起什么作用？

主要发现

• 等单多值 τ 函数 τ(λ, κ; q) 恰好等于李乌维尔半局域配分函数 Zσ(λ + m, q) 在晶格态上的求和，建立了可积系统与 CFT 之间的精确联系。
• 量子迹函数 L_γ 满足缝合关系，在量子泰希米勒设定中实现了维拉索罗代数底层代数结构的实现。
• 李乌维尔共形块的 BPZ 方程被证明描述了量子等单多值形变问题，且与施莱辛格系统的联系已得到确认。
• 配分函数 Z(β, g) = ⟨V2, Π_β(g)V1⟩ 是双陪集 An2\An/An1 上的函数，该空间被识别为泰希米勒空间 T(C) 的开子集，暗示了共形块的几何解释。
• 函数 Z(β, g) 被证明是 Whittaker 函数或球函数的类比，且有可能从退化态构造出维拉索罗代数中的真实 Whittaker 向量。
• 量子泰希米勒空间与李乌维尔 CFT 之间的对应关系被解释为一种“量化与约化可交换”现象：T^*Diff+(S^1) 的量化导致 CFT，而有限维泰希米勒空间的约化源于态 V1 与 V2 的不变性。