[论文解读] Quantization of open-closed BCOV theory, I

Kevin Costello, Si Li|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用 35

一句话总结

本文在奇数维平坦空间 $\mathbb{C}^d$ 上建立了开-闭 BCOV 理论的微扰化量子化之存在性与唯一性，该理论将 Kodaira-Spencer 引力（BCOV）与超群 $GL(N|N)$ 上的全纯 Chern-Simons 理论相耦合。通过开-闭扇区之间的反常抵消，该量子化被规范地固定，消除了无限多的反项模糊性，从而在奇数 $d$ 下唯一地确定了 $\mathbb{C}^d$ 上的量子 BCOV 理论。该结果依赖于障碍理论，以及耦合系统中类似 Green-Schwartz 的反常抵消机制。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers which analyze the problem of quantizing the theory coupling Kodaira-Spencer gravity (or BCOV theory) on Calabi-Yau manifolds using the formalism for perturbative QFT developed by the first author. In this paper, we focus on flat space $\mathbb{C}^d$ for $d$ odd. We prove that there exists a unique quantization of the theory coupling BCOV theory and holomorphic Chern-Simons theory with gauge group the supergroup $GL(N \mid N)$. We deduce a canonically defined quantization of BCOV theory on its own. We also discuss some conjectural links between BCOV theory in various dimensions and twists of physical theories: in complex dimension $3$ we conjecture a relationship to twists of $(1,0)$ supersymmetric theories and in complex dimension $5$ to a twist of type IIB supergravity.

研究动机与目标

• 解决在 Calabi-Yau 流形上非重整化、相互作用的 6D BCOV 理论微扰化量子化这一长期存在的问题。
• 证明 BCOV 理论中无限多的反项模糊性可通过与 $GL(N|N)$ 上的全纯 Chern-Simons 理论耦合而唯一地被固定。
• 通过开-闭耦合系统，在 $\mathbb{C}^d$（$d$ 为奇数）上建立 BCOV 理论的规范化量子化。
• 证明耦合系统的障碍-形变复形在单圈以上具有平凡上同调，从而确保反常抵消。
• 探讨 BCOV 理论在复维数 3 和 5 时与 $(1,0)$ 自旋理论的扭化及 IIB 超引力之间的猜想性联系。

提出的方法

• 使用 Costello 开发的微扰量子场论形式化方法，通过障碍-形变链复形分析量子化。
• 应用 [Cos11] 中的障碍理论，计算耦合开-闭理论的上同调群 $H^0$（形变）与 $H^1$（反常）。
• 通过将 BCOV 引力与具有规范超代数 $\mathfrak{gl}(N|N)$ 的全纯 Chern-Simons 理论耦合，构建耦合的开-闭 BCOV 理论，确保在包含关系 $\mathfrak{gl}(N|N) \hookrightarrow \mathfrak{gl}(N+k|N+k)$ 下的相容性。
• 进行详细的单圈反常抵消计算，类比 Green-Schwartz 机制，表明全纯 Chern-Simons 理论中的反常被闭弦扇区所抵消。
• 使用喷层与 $D$-模技术分析障碍-形变复形的结构，特别关注 $\operatorname{Sym}^k(J\mathscr{E})^\vee$ 及其与 $\Omega^{3,3}$ 和 $\Omega^{3,0}_{\text{hol}}$ 的导出张量积。
• 利用 $\mathbb{C}^3$ 上的 $SU(3)$-不变性与标度权重约束，唯一地固定了三次相互作用，证明高阶相互作用（$k > 3$）在上同调中消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{C}^d$（$d$ 为奇数）上构造出 BCOV 理论的规范微扰化量子化，尽管其具有非重整化性与无限多反项模糊性？
• RQ2 全纯 Chern-Simons 理论中的单圈反常是否可通过与闭弦扇区耦合而被抵消？若可，其条件为何？
• RQ3 在 $\mathbb{C}^d$（$d$ 为奇数）上，开-闭耦合 BCOV 理论是否允许一个与所有 $N$ 的 $\mathfrak{gl}(N|N)$ 包含相容的唯一量子化？
• RQ4 $GL(N|N)$ 规范群在确保反常抵消与量子理论唯一性方面起何作用？
• RQ5 耦合系统的障碍-形变复形的上同调群如何反映在单圈以上无障碍的特性？

主要发现

• 在奇数 $d$ 上，存在唯一微扰化量子化之开-闭 BCOV 理论，其规范超代数为 $\mathfrak{gl}(N|N)$，且与包含关系 $\mathfrak{gl}(N|N) \hookrightarrow \mathfrak{gl}(N+k|N+k)$ 相容。
• 耦合理论的障碍-形变复形在单圈以上具有平凡上同调，表明潜在反常与形变完全抵消。
• 在 $\mathbb{C}^3$ 情形下，经典相互作用由 $SU(3)$-不变性与标度权重唯一地固定（至比例因子），且高阶相互作用（$k > 3$）在上同调中消失。
• 全纯 Chern-Simons 理论的单圈反常被闭弦扇区抵消，使耦合系统无反常，从而实现一致的量子化。
• 作为推论，获得了在 $\mathbb{C}^d$（$d$ 为奇数）上的规范量子 BCOV 理论，所有反项均由与 $GL(N|N)$ 全纯 Chern-Simons 理论的耦合唯一确定。
• 在复维数 3 时，若使用 $\mathfrak{sl}(N|N)$ 规范代数，则需采用修正的 BCOV 理论——即 $(1,0)$ BCOV 理论，其量子化同样被唯一固定。