[论文解读] Quantization of soliton systems and Langlands duality

Boris Feigin, Edward Frenkel|ArXiv.org|May 17, 2007

Algebraic structures and combinatorial models被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于仿射 Kac–Moody 代数的 Gaudin 模型，用于对孤立子可积系统（如 KdV 层次）进行量化，将它们的量子哈密顿量谱与 Langlands 对偶仿射代数上的仿射 opers 联系起来。关键结果是，量子 KdV 哈密顿量的谱与含谱参数的薛定谔算符的谱相匹配，从而作为 Langlands 对偶性的一个特例，证实了 Bazhanov、Lukyanov 和 Zamolodchikov 的一个猜想。

ABSTRACT

We consider the problem of quantization of classical soliton integrable systems, such as the KdV hierarchy, in the framework of a general formalism of Gaudin models associated to affine Kac--Moody algebras. Our experience with the Gaudin models associated to finite-dimensional simple Lie algebras suggests that the common eigenvalues of the mutually commuting quantum Hamiltonians in a model associated to an affine algebra should be encoded by affine opers associated to the Langlands dual affine algebra. This leads us to some concrete predictions for the spectra of the quantum Hamiltonians of the soliton systems. In particular, for the KdV system the corresponding affine opers may be expressed as Schroedinger operators with spectral parameter, and our predictions in this case match those recently made by Bazhanov, Lukyanov and Zamolodchikov. This suggests that this and other recently found examples of the correspondence between quantum integrals of motion and differential operators may be viewed as special cases of the Langlands duality.

研究动机与目标

• 将 Gaudin 模型形式化从有限维李代数推广到仿射 Kac–Moody 代数，以对孤立子系统进行量化。
• 建立孤立子系统中量子哈密顿量谱与 Langlands 对偶仿射代数上仿射 opers 之间的对应关系。
• 验证量子 KdV 哈密顿量的谱与含谱参数的薛定谔算符的谱相匹配，正如 Bazhanov、Lukyanov 和 Zamolodchikov 所猜想的那样。
• 将近期关于量子积分不变量与微分算符之间对应关系的观察，置于 Langlands 对偶性的特例框架下。

提出的方法

• 将孤立子系统建模为与仿射 Kac–Moody 代数相关的 Gaudin 模型，推广有限维 Gaudin 框架。
• 提出此类模型中量子哈密顿量的谱由 Langlands 对偶仿射代数 $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$ 上的仿射 opers 编码。
• 利用仿射代数 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$ 在临界水平时其完备包络代数的中心与 $^{L}{\mathfrak{g}}$-opers 在去掉一点的圆盘上的已知同构关系。
• 将此对应关系推广至双重仿射代数 $\widehat{\widehat{{\mathfrak{g}}}}$，并猜想其中心与 $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$-opers 相关。
• 应用算符乘积展开技术与顶点代数形式化，验证 Gaudin 模型中量子哈密顿量的对易性。
• 通过证明所得 opers 退化为含谱参数的薛定谔算符，验证 KdV 层次的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在仿射 Kac–Moody 代数的 Gaudin 模型框架下对如 KdV 层次这样的经典孤立子可积系统进行量化？
• RQ2 此类系统中量子哈密顿量谱与微分算符（opers）之间的精确对应关系是什么？
• RQ3 观察到的量子 KdV 哈密顿量谱与含谱参数的薛定谔算符谱之间的匹配，能否被理解为 Langlands 对偶性的结果？
• RQ4 双重仿射代数 $\widehat{\widehat{{\mathfrak{g}}}}$ 的完备包络代数的中心在编码量子谱中扮演什么角色？
• RQ5 Langlands 对偶仿射代数 $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$ 如何支配孤立子系统中量子积分不变量的结构？

主要发现

• 孤立子系统中量子哈密顿量的谱由 Langlands 对偶仿射代数 $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$ 上的仿射 opers 编码，推广了有限维 Gaudin 模型的对应关系。
• 对于 KdV 层次，相应的仿射 opers 等价于含谱参数的薛定谔算符，从而证实了 Bazhanov、Lukyanov 和 Zamolodchikov 的猜想。
• 广义 KdV 和 AKNS 层次的量子哈密顿量被构造为 Virasoro 代数及其相关仿射代数的完备包络代数中的相互对易算符。
• 通过算符乘积展开技术与顶点代数形式化，特别是通过验证涉及 Segal–Sugawara 电流的对易子为零，确立了量子哈密顿量的对易性。
• 猜想 $\widehat{\widehat{{\mathfrak{g}}}}$ 的完备包络代数的中心同构于去掉一点的圆盘上 $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$-opers 的代数，扩展了已知的有限维结果。
• 该框架将近期关于量子积分不变量与微分算符之间对应关系的观察，统一为 Langlands 对偶性的特例。