[论文解读] Quantized Compressed Sensing for Partial Random Circulant Matrices

Joe-Mei Feng, Felix Krahmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 37被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种基于部分随机循环矩阵的压缩感知量化框架，采用稳定的Sigma-Delta量化与凸优化方法。研究证明，量化引起的重建误差随测量次数的增加呈多项式衰减，相较于无记忆标量量化，展现出更高的鲁棒性与稳定性。

ABSTRACT

We provide the first analysis of a non-trivial quantization scheme for compressed sensing measurements arising from structured measurements. Specifically, our analysis studies compressed sensing matrices consisting of rows selected at random, without replacement, from a circulant matrix generated by a random subgaussian vector. We quantize the measurements using stable, possibly one-bit, Sigma-Delta schemes, and use a reconstruction method based on convex optimization. We show that the part of the reconstruction error due to quantization decays polynomially in the number of measurements. This is in line with analogous results on Sigma-Delta quantization associated with random Gaussian or subgaussian matrices, and significantly better than results associated with the widely assumed memoryless scalar quantization. Moreover, we prove that our approach is stable and robust; i.e., the reconstruction error degrades gracefully in the presence of non-quantization noise and when the underlying signal is not strictly sparse. The analysis relies on results concerning subgaussian chaos processes as well as a variation of McDiarmid's inequality.

研究动机与目标

• 开发针对结构化压缩感知矩阵（特别是部分随机循环矩阵）的非平凡量化理论。
• 解决在结构化测量设置下（尤其是超越i.i.d.子高斯矩阵）量化理论分析的缺失问题。
• 证明稳定的、可能为一比特的Sigma-Delta量化可实现重建误差的多项式衰减。
• 证明在非量化噪声及信号不严格稀疏情况下的重建鲁棒性与稳定性。
• 将现有压缩感知保证扩展至具有量化感知分析的结构化矩阵。

提出的方法

• 通过从由子高斯向量生成的循环矩阵中无放回地子采样行，构造部分随机循环矩阵。
• 对压缩感知测量值应用稳定且可能为一比特的Sigma-Delta量化。
• 通过基追踪方法结合测量一致性约束，实现基于凸优化的重建。
• 建立测量矩阵与r阶差分算子左奇异向量乘积的限制等距性质。
• 依赖子高斯混沌过程理论及McDiarmid不等式的变体，以界定量化误差的偏离。
• 在证明中利用无放回采样结构，与先前关于随机子采样的研究形成区分。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳定的、可能为一比特的Sigma-Delta量化能否在部分随机循环矩阵上实现重建误差的多项式衰减？
• RQ2 当存在非量化噪声或信号不严格稀疏时，重建误差的行为如何？
• RQ3 与i.i.d.子高斯矩阵相比，结构化测量矩阵（部分随机循环矩阵）对量化误差衰减速率有何影响？
• RQ4 能否为涉及循环矩阵与差分算子的量化感知测量系统建立限制等距性质？
• RQ5 部分循环矩阵中的无放回子采样是否能提供强于i.i.d.采样的更强浓度界？

主要发现

• 由于量化引起的重建误差随测量数的增加呈多项式衰减，其结果与i.i.d.子高斯矩阵一致。
• 该方法对非量化噪声具有鲁棒性，且在有界噪声下误差退化过程平滑。
• 当原始信号不严格稀疏时，该方法仍保持稳定，误差受最优s稀疏逼近的界约束。
• 分析证明了测量矩阵与r阶差分算子左奇异向量乘积的限制等距性质。
• 证明技术利用McDiarmid不等式的变体与子高斯混沌过程界，专为无放回采样设计。
• 量化测量值差异的子高斯范数上界被证明与 $ \frac{\sqrt{m}}{\ell}\|x-y\|_{\hat{\infty}} $ 成比例，从而实现浓度控制。