[论文解读] Quantized topological terms in weakly coupled gauge theories and their connection to symmetry protected topological phases

Ling-Yan Hung, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Black Holes and Theoretical Physics被引用 5

一句话总结

本文系统构建了在任意时空维度和规范群（连续或离散）下的弱耦合规范场论中的量化拓扑项，表明它们由整数上同调群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 分类，其中 $ BG $ 是规范群 $ G $ 的分类空间。关键结果建立了具有此类拓扑项的规范场论与玻色子对称保护拓扑（SPT）相之间的对偶性，二者均由同一上同调群分类，统一了它们的分类体系，并扩展了对拓扑序和无能隙相的理解。

ABSTRACT

We consider a weakly coupled gauge theory where charged particles all have large gaps (ie no Higgs condensation to break the gauge "symmetry") and the field strength fluctuates only weakly. We ask what kind of topological terms can be added to the Lagrangian of such a weakly coupled gauge theory. In this paper, we systematically construct quantized topological terms which are generalization of the Chern-Simons terms and $F\wedge F$ terms, in space-time dimensions $d$ and for any gauge groups (continuous or discrete), using each element of the topological cohomology classes $H^{d+1}(BG,\Z)$ on the classifying space $BG$ of the gauge group $G$. In 3$d$ or for finite gauge groups above 3$d$, the weakly coupled gauge theories are gapped. So our results on topological terms can be viewed as a systematic construction of gapped topologically ordered phases of weakly coupled gauge theories. In other cases, the weakly coupled gauge theories are gapless. So our results can be viewed as an attempt to systematically construct different gapless phases of weakly coupled gauge theories. Amazingly, the bosonic symmetry protected topological (SPT) phases with a finite on-site symmetry group $G$ are also classified by the same $H^{d+1}(BG,\Z)$. (SPT phases are gapped quantum phases with a symmetry and trivial topological order.) In this paper, we show an explicit duality relation between topological gauge theories with the quantized topological terms and the bosonic SPT phases, for any finite group $G$ and in any dimensions; a result first obtained by Levin and Gu. We also study the relation between topological lattice gauge theory and the string-net states with non-trivial topological order and no symmetry.

研究动机与目标

• 系统分类所有规范群和时空维度下弱耦合规范场论中具有大能隙的量化拓扑项。
• 阐明拓扑项在区分规范场论中能隙相与无能隙相中的作用。
• 建立具有量化项的拓扑规范场论与具有有限局部对称群的玻色子 SPT 相之间的对偶性。
• 通过同一上同调框架统一分类拓扑序与 SPT 相。

提出的方法

• 使用规范群 $ G $ 的分类空间 $ BG $ 的整数上同调群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 构造量化拓扑项。
• 采用三种方法：有限群 $ G $ 的群上同调方法、目标空间为 $ BG $ 的非线性 $ \sigma $-模型方法，以及奇数维时空下的微分特征形式方法。
• 利用普遍系数定理将 $ H^d(BG, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) $ 与 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 关联，识别上同调的离散部分对应于量化项。
• 证明同一上同调群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 同时分类了具有量化项的拓扑规范场论与具有有限局部对称群的玻色子 SPT 相。
• 通过显式构造对偶场论，建立格点拓扑规范场论与 SPT 相之间的对偶映射。
• 分析其与弦网态以及在无全局对称性时非平凡拓扑序的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意时空维度和任意规范群下，弱耦合规范场论的拉格朗日量中可添加的完整量化拓扑项集合是什么？
• RQ2 这些拓扑项如何分类弱耦合规范场论中的能隙相与无能隙相？
• RQ3 具有量化项的拓扑规范场论与玻色子 SPT 相之间的精确数学与物理对偶性是什么？
• RQ4 上同调群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 如何统一分类拓扑序与 SPT 序？
• RQ5 分类空间 $ BG $ 在将拓扑项实现为非线性 $ \sigma $-模型中起什么作用？

主要发现

• 弱耦合规范场论中的量化拓扑项与 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 的元素一一对应，为任意规范群 $ G $ 和时空维度 $ d $ 提供了完整分类。
• 对于 $ d \geq 3 $ 的有限规范群，所得理论为能隙理论，描述拓扑序；而在低维或连续群情况下，理论可能为无能隙。
• 同一上同调群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 同时分类了具有量化项的拓扑规范场论与具有有限局部对称群 $ G $ 的玻色子 SPT 相，建立了深刻的对偶性。
• 该对偶性通过场论对偶性显式构造，推广了 Levin 与 Gu 的早期结果，适用于任意有限群和维度。
• 上同调群 $ H^d(BG, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) $ 的离散部分，同构于 $ \text{Tor}[H^{d+1}(BG, \mathbb{Z})] $，恰好对应于量化拓扑项。
• 该方法统一了通过规范场论分类的拓扑序与通过对称保护相分类的 SPT 序，表明二者受同一上同调结构支配。