[论文解读] Quantum $1/f$ Noise in Equilibrium: from Planck to Ramanujan

Michel Planat|Jul 16, 2003

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文提出了一种全新的无质量热玻色子的量子统计模型，其中每模式的配分函数为整数分拆函数 p(n) 的欧拉生成函数，导致双曲型低频涨落谱。该模型推导出每模式能量修正为 ∼π²/(6x)，其中 x = hν/kT，从而在黑体辐射和德拜固体内产生 1/ν 分数能量涨落及红外修正，其根源在于模形式与拉马努金–拉德迈彻数论。

ABSTRACT

We describe a new model of massless thermal bosons which predicts an hyperbolic fluctuation spectrum at low frequencies. It is found that the partition function per mode is the Euler generating function for unrestricted partitions $p(n)$. Thermodynamical quantities carry a strong arithmetical structure: they are given by series with Fourier coefficients equal to summatory functions $σ_k(n)$ of the power of divisors, with $k=-1$ for the free energy, $k=0$ for the number of particles and $k=1$ for the internal energy. Low frequency contributions are calculated using Mellin transform methods. In particular the internal energy per mode diverges as $\frac{ ilde{E}}{kT}=\frac{π^2}{6 x}$ with $x=\frac{h ν}{kT}$ in contrast to the Planck energy $ ilde{E}=kT$. The theory is applied to calculate corrections in black body radiation and in the Debye solid. Fractional energy fluctuations are found to show a $1/ν$ power spectrum in the low frequency range. A satisfactory model of frequency fluctuations in a quartz crystal resonator follows. A sketch of the whole Ramanujan--Rademacher theory of partitions is reminded as well.

研究动机与目标

• 通过重新诠释非简并玻色子的配分函数，解决标准量子统计力学中缺乏 1/ν 噪声的问题。
• 表明每模式的配分函数对应于整数分拆函数 p(n) 的欧拉生成函数，从而在热力学量中引入算术结构。
• 利用梅林变换与模函数技术，推导黑体辐射与德拜固体模型的低频修正。
• 通过拉马努金–拉德迈彻公式，将量子统计力学与数论联系起来，尤其通过法多圆与戴德克ind和。
• 证明分数能量涨落呈现 1/ν 幂律谱，与标准 1/ν² 随机游走行为形成对比。

提出的方法

• 建立一个具有等间距能级 nhν 的非简并玻色子气体模型，每模式的配分函数表示为欧拉乘积 ∏_{n≥1} 1/(1−y^n)，其中 y = exp(−x)，x = hν/kT。
• 将配分函数识别为整数分拆函数的生成函数，将其与模形式及模函数理论联系起来。
• 应用梅林变换技术分析低频贡献，特别是每模式内能与自由能的分析。
• 利用拉马努金–拉德迈彻公式计算 p(n) 的精确渐近展开，涉及法里序列、法多圆与戴德克Ind和。
• 通过参数化 z = iz/q²，沿上半平面路径对配分函数进行积分，使用拉德迈彻的围道，推导出 p(n) 的精确表达式。
• 将热力学量（自由能、内能、熵）表示为傅里叶系数分别等于除数幂求和函数 σ_k(n) 的级数，其中 k = −1, 0, 1 分别对应自由能、内能与熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 非简并玻色子的配分函数是否可通过重新诠释，使热平衡下的量子 1/f 噪声得以出现？
• RQ2 整数分拆函数的欧拉生成函数在低频下对热力学行为有何作用？
• RQ3 模形式与戴德克Ind和如何贡献于红外区域中配分函数贡献的精确计算？
• RQ4 当配分函数通过 p(n) 包含多体微观态时，黑体辐射与德拜固体模型的修正为何？
• RQ5 由此产生的能量涨落谱是否呈现 1/ν 幂律？其与标准 1/ν² 随机游走模型有何不同？

主要发现

• 每模式内能发散为 Ẽ/(kT) = π²/(6x)，其中 x = hν/kT，显著超过低频下标准普朗克结果 Ẽ = kT。
• 每模式自由能表示为系数为 σ_{−1}(n) 的级数，即 n 的所有因数倒数之和，表明其具有深刻的算术结构。
• 每模式粒子数由 σ_0(n) 决定，即 n 的因数个数，显示出与频率的数论依赖性。
• 气体中的分数能量涨落呈现 1/ν 幂律谱，与标准统计力学的 1/ν² 谱形成对比。
• 由于新的红外贡献，黑体辐射中的光子密度增强了 ζ(3) ≈ 1.20 倍。
• 德拜固体中的声子比热同样增强了 ζ(3) 倍，表明在固态系统中存在可观测的修正。