[论文解读] Quantum adiabatic evolutions that can't be used to design efficient algorithms

Zhaohui Wei, Mingsheng Ying|ArXiv.org|Apr 11, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文表明，采用简单初始哈密顿量或最终哈密顿量的量子绝热算法会遭遇反指数级的最小能隙，导致其指数级缓慢，因此无法实现高效计算。作者通过量子绝热定理证明，即使采用任意插值路径，此类演化也无法实现多项式时间性能，从而排除了某些问题（包括搜索问题）的高效量子加速可能性。

ABSTRACT

Quantum adiabatic computation is a novel paradigm for the design of quantum algorithms, which is usually used to find the minimum of a classical function. In this paper, we show that if the initial hamiltonian of a quantum adiabatic evolution with a interpolation path is too simple, the minimal gap between the ground state and the first excited state of this quantum adiabatic evolution is an inverse exponential distance. Thus quantum adiabatic evolutions of this kind can't be used to design efficient quantum algorithms. Similarly, we show that a quantum adiabatic evolution with a simple final hamiltonian also has a long running time, which suggests that some functions can't be minimized efficiently by any quantum adiabatic evolution with a interpolation path.

研究动机与目标

• 研究当初始或最终哈密顿量过于简单时，量子绝热算法的性能极限。
• 确定量子绝热演化是否能为最小化经典函数提供高效解法。
• 确立某些绝热路径会导致指数级小能隙，从而否定高效算法设计的可能性。
• 将线性插值路径的结果推广至任意连续插值路径。
• 为识别量子绝热优化中的最坏情况提供理论基础。

提出的方法

• 作者应用量子绝热定理，使用最小能隙（即基态与第一激发态之间的能量差）必须足够大以确保绝热演化成立的条件。
• 他们定义最小能隙 $ g_{\text{min}} = \min_t [E_1(t) - E_0(t)] $ 和哈密顿量的变化率 $ D_{\text{max}} = \max_t |\langle E_1,t | \frac{dH}{dt} | E_0,t \rangle| $。
• 对于线性插值路径 $ H(t) = (1-t/T)H_0 + (t/T)H_1 $，他们推导出 $ g_{\text{min}} $ 的下界，表明其小于 $ \frac{2}{2^{n/2 - n/100}} $。
• 他们将结果推广至任意连续插值路径 $ H(t) = f(t)H_0 + g(t)H_1 $，保持相同的能隙界限，并按常数 $ c_2 $ 缩放。
• 通过对称性和酉变换，他们证明即使最终哈密顿量为简单投影算符，最小能隙仍被相同的指数表达式所限制。
• 该证明依赖于对时变哈密顿量特征多项式的分析，并通过识别特定区间内的根来界定能隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 采用简单初始哈密顿量的量子绝热算法能否为最小化经典函数实现高效性能？
• RQ2 在具有简单初始或最终哈密顿量的绝热演化中，最小能隙是多少？其对运行时间有何影响？
• RQ3 插值路径的选择是否会影响此类绝热演化中的最小能隙？
• RQ4 能否使用此框架对量子绝热算法的最坏情况性能进行界定？
• RQ5 在最终哈密顿量为简单形式（如投影算符）的情况下，是否可能通过绝热演化实现量子搜索的指数级加速？

主要发现

• 在具有简单初始哈密顿量的绝热演化中，最小能隙 $ g_{\text{min}} $ 的上界为 $ \frac{2}{2^{n/2 - n/100}} $，其在 $ n $ 上呈指数级缩小。
• 因此，所需演化时间 $ T $ 必须在 $ n $ 上呈指数级增长，使得此类算法效率低下。
• 对于任意连续插值路径，最小能隙的相同指数下界依然成立，而不仅限于线性路径。
• 该界限被推广至包含缩放因子 $ c_2 $，即对于满足 $ c_1 < f(t) + g(t) < c_2 $ 的任意路径，有 $ g_{\text{min}} < \frac{2c_2}{2^{n/2 - n/100}} $。
• 当最终哈密顿量为简单形式（例如投影算符）时，也得到类似结果，表明此类演化同样面临指数级小能隙。
• 这意味着，即使选择最优路径，量子绝热算法也无法为诸如无结构搜索等问题提供指数级加速。