[论文解读] Quantum adiabatic theorem for unbounded Hamiltonians, with applications to superconducting circuits.

Evgeny Mozgunov, Daniel A. Lidar|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

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一句话总结

本文提出了一种新颖的量子绝热定理，严格界定了无界哈密顿量的绝热时间尺度，特别适用于超导量子比特电路。与以往结果不同，该定理消除了时间尺度中的 $2^n$ 因子，并给出了与截断无关的表达式，从而能够准确预测量子 annealing 过程中量子比特子空间的泄漏，尤其是在隧穿势垒增大时。

ABSTRACT

We present a new quantum adiabatic theorem that allows one to rigorously bound the adiabatic timescale for a variety of systems, including those described by unbounded Hamiltonians. Our bound is geared towards the qubit approximation of superconducting circuits, and presents a sufficient condition for remaining within the $2^n$-dimensional qubit subspace of a circuit model of $n$ qubits. The novelty of this adiabatic theorem is that unlike previous rigorous results, it does not contain $2^n$ as a factor in the adiabatic timescale, and it allows one to obtain an expression for the adiabatic timescale independent of the cutoff of the infinite-dimensional Hilbert space of the circuit Hamiltonian. As an application, we present an explicit dependence of this timescale on circuit parameters for a superconducting flux qubit, and demonstrate that leakage out of the qubit subspace is inevitable as the tunneling barrier is raised towards the end of a quantum anneal. We also discuss a method of obtaining a $2^n imes 2^n$ effective Hamiltonian that best approximates the true dynamics induced by slowly changing circuit control parameters.

研究动机与目标

• 开发一种适用于超导电路模型中无界哈密顿量的严格绝热定理。
• 消除绝热时间尺度界限中的 $2^n$ 因子，该因子此前限制了多量子比特系统中的实际适用性。
• 提供一个与截断无关的绝热时间尺度表达式，独立于无限维希尔伯特空间的截断。
• 分析在通量量子比特中进行量子 annealing 时，$2^n$-维量子比特子空间的泄漏情况。
• 推导出一个最佳逼近真实动力学的 $2^n \times 2^n$ 有效哈密顿量，适用于控制参数缓慢变化的情形。

提出的方法

• 基于无界哈密顿量的谱性质推导出新的绝热条件，避免对有限维截断的依赖。
• 提出一个绝热时间尺度的界，其与最小能隙和控制参数变化率成反比，且不包含 $2^n$ 因子。
• 将该定理应用于超导通量量子比特模型，显式计算了时间尺度对电路参数（如隧穿势垒高度）的依赖关系。
• 使用投影形式推导出一个 $2^n \times 2^n$ 的有效哈密顿量，以捕捉在控制参数缓慢变化下量子比特子空间内的主导动力学。
• 通过分析无限维希尔伯特空间的作用，表明随着隧穿势垒的增加，量子比特子空间的泄漏不可避免。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖希尔伯特空间截断的前提下，为超导电路中的无界哈密顿量建立一个严格的绝热定理？
• RQ2 绝热时间尺度界限中若不包含 $2^n$ 因子，是否能提升多量子比特系统中量子 annealing 的实际可行性？
• RQ3 在通量量子比特中，绝热时间尺度对电路参数（如隧穿势垒）的显式依赖关系是什么？
• RQ4 随着隧穿势垒的升高，量子 annealing 过程中量子比特子空间的泄漏是否不可避免？
• RQ5 如何系统地推导出一个 $2^n \times 2^n$ 的有效哈密顿量，以近似缓慢变化的超导电路的真实动力学？

主要发现

• 所提出的绝热定理提供了与希尔伯特空间截断无关的时间尺度界限，消除了以往严格结果中存在的 $2^n$ 因子。
• 对于超导通量量子比特，绝热时间尺度明确依赖于电路参数（如隧穿势垒和能级间距），并已推导出定量表达式。
• 随着隧穿势垒在量子 anneal 结束时升高，即使在绝热演化下，$2^n$-维量子比特子空间的泄漏也是不可避免的。
• 所推导的有效 $2^n \times 2^n$ 哈密顿量为真实动力学提供了最佳逼近，使得量子比特行为的精确建模成为可能。
• 该分析确认，超导电路中的无界哈密顿量需要一种改进的绝热条件，以考虑无限维效应，而标准界限无法捕捉这些效应。