[论文解读] Quantum Algorithm for Computing the Period Lattice of an Infrastructure

Felix Fontein, Paweł Wocjan|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于在固定维度下计算非离散基础设施的周期格的量子算法，通过一种新颖的采样方法，使双格向量的采样成功概率实现指数级提升——至少提高 $2^{n^2 - 1}$ 倍——并提供了关于 $ \log \det(\Lambda)$ 的多项式时间复杂度和关于维度 $n$ 的指数依赖性的严格证明。该算法在成功概率和分析严谨性方面均显著优于以往工作，尤其适用于来自整体域的基础设施。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for computing the period lattice of infrastructures of fixed dimension. The algorithm applies to infrastructures that satisfy certain conditions. The latter are always fulfilled for infrastructures obtained from global fields, i.e., algebraic number fields and function fields with finite constant fields. The first of our main contributions is an exponentially better method for sampling approximations of vectors of the dual lattice of the period lattice than the methods outlined in the works of Hallgren and Schmidt and Vollmer. This new method improves the success probability by a factor of at least 2^{n^2-1} where n is the dimension. The second main contribution is a rigorous and complete proof that the running time of the algorithm is polynomial in the logarithm of the determinant of the period lattice and exponential in n. The third contribution is the determination of an explicit lower bound on the success probability of our algorithm which greatly improves on the bounds given in the above works. The exponential scaling seems inevitable because the best currently known methods for carrying out fundamental arithmetic operations in infrastructures obtained from algebraic number fields take exponential time. In contrast, the problem of computing the period lattice of infrastructures arising from function fields can be solved without the exponential dependence on the dimension n since this problem reduces efficiently to the abelian hidden subgroup problem. This is also true for other important computational problems in algebraic geometry. The running time of the best classical algorithms for infrastructures arising from global fields increases subexponentially with the determinant of the period lattice.

研究动机与目标

• 开发一种量子算法，用于计算源自整体域（如代数数域和函数域）的非离散基础设施的周期格。
• 克服先前用于采样双格向量的量子算法在成功概率低和分析不完整方面的局限性。
• 提供该算法时间复杂度的严格、完整证明，表明其在 $\log \det(\Lambda)$ 上为多项式依赖，在维度 $n$ 上为指数依赖。
• 建立成功概率的显式、非平凡下界，显著优于 Hallgren、Schmidt 和 Vollmer 的工作中的现有边界。

提出的方法

• 该算法在离散窗口 $\mathcal{V} = \{0, \ldots, qN-1\}^n$ 上构造一个函数 $f$，使得 $f(v) = f(v')$ 当且仅当 $\frac{v - v'}{N} \approx \lambda$ 对某个 $\lambda \in \Lambda$ 成立，其中 $\Lambda$ 为周期格。
• 利用量子态制备技术，在 $f$ 的原像上创建周期叠加态，从而利用基础设施中隐藏的周期结构。
• 提出一种新颖的采样技术，用于近似双格 $\Lambda^*$ 中的向量，与先前方法相比，成功概率至少提高 $2^{n^2 - 1}$。
• 该算法应用 Korkine-Zolotarev 约化基和格近似技术，将近似生成集转换为 $\gamma$-近似基 $\Lambda$。
• 结合量子振幅放大与精细的参数调优，以满足多个技术假设 (I)–(VIII)，确保正确性和高成功概率。
• 通过格论工具（包括对 $\lambda_1$ 和 $\det(\Lambda)$ 的界限）严格界定了生成满秩子格和整个双格的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种量子算法，在固定维度的基础设施中对采样双格向量的成功概率实现指数级提升？
• RQ2 计算来自整体域的基础设施周期格的精确时间复杂度是什么？其在 $\det(\Lambda)$ 和 $n$ 上如何扩展？
• RQ3 能否为该类算法的成功概率和时间复杂度构建严格且完整的证明，弥补先前工作的漏洞？
• RQ4 对于来自数域的基础设施，维度 $n$ 的指数依赖是否不可避免？与函数域相比如何？
• RQ5 能否推导出显著优于文献中现有边界的显式成功概率下界？

主要发现

• 由于提出了一种新颖的采样技术，所提出的算法在采样双格向量方面，成功概率相比先前方法至少提高了 $2^{n^2 - 1}$。
• 该算法的运行时间在 $\log \det(\Lambda)$ 上为多项式，在 $n$ 上为指数，且对该复杂度界限提供了严格证明。
• 推导出了成功概率的显式下界，显著强于 Hallgren、Schmidt 和 Vollmer 的先前工作中的边界。
• 对于来自函数域的基础设施，该问题可高效归约为阿贝尔隐藏子群问题，从而在无需 $n$ 的指数依赖下实现多项式时间求解。
• 相比之下，对于来自数域的基础设施，由于此类域中算术运算的固有复杂性，证明了 $n$ 的指数依赖是不可避免的。
• 只要 $q$ 满足由 $N$、$\det(\Lambda)$ 和 $\lambda_1(\Lambda)$ 导出的下界，该算法可成功从 $\Lambda^*$ 中两个向量的 $\frac{1}{4q}$-近似生成集中计算出 $\Lambda$ 的 $\gamma$-近似基。