[论文解读] Quantum Algorithm for Generalized Deutsch-Jozsa Problem

Dong Pyo, Jinsoo Kim+1 more|ArXiv.org|May 16, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文将Deutsch-Jozsa问题推广至从Z_N映射到Z_M的函数，提出一种量子算法，仅通过一次函数评估即可判断函数是否为非恒定或非均匀分布。该算法通过可分离的辅助寄存器实现受控相位回授机制，避免了对初始化辅助量子比特的需求，并在量子傅里叶变换与干涉操作后通过测量控制寄存器的输出态实现正确分类。

ABSTRACT

We generalize the Deutsch-Jozsa problem and present a quantum algorithm that can solve the generalized Deutsch-Jozsa problem by a single evaluation of a given function. We discuss the initialization of an auxiliary register and present a generalized Deutsch-Jozsa algorithm that requires no initialization of an auxiliary register.

研究动机与目标

• 将原始Deutsch-Jozsa问题推广至输出值在Z_M而非仅Z_2的函数。
• 开发一种仅通过一次函数评估即可解决推广后问题的量子算法，同时保持量子优势。
• 消除标准Deutsch-Jozsa设置中对辅助寄存器初始化的需求。
• 将“平衡函数”的概念推广至Z_M上具有等大原像集的“均匀分布”函数。
• 证明当辅助寄存器以可分离的叠加态制备而非必须为|−⟩时，该算法依然有效。

提出的方法

• 通过定义函数f: Z_N → Z_M为均匀分布，若其映射到K个等间距的值且每个值的原像大小均为ν = N/K，从而推广Deutsch-Jozsa问题。
• 使用控制寄存器初始化为|0^n⟩，辅助寄存器制备为一般可分离叠加态|Ψ⟩ = ⊗_j (a_j|0⟩ + b_j|1⟩)。
• 应用如下序列：W_n ⊗ I → U_f^⊕ → I ⊗ σ_z^⊗m → U_f^⊕ → I ⊗ σ_z^⊗m → W_n ⊗ I，以引入与函数相关的相位移。
• 相位移通过奇偶函数p: Z_M → Z_2^m编码，其中f(x)被映射为其二进制表示，而p(f(x))计算其所有位的按位异或。
• 利用量子傅里叶变换与干涉，增强恒定函数与均匀分布函数在最终测量中的差异。
• 证明当f为恒定函数时，最终态坍缩为|0^n⟩，振幅为1；而当f为均匀分布时，|0^n⟩在最终态中的振幅恰好为0。

实验结果

研究问题

• RQ1 Deutsch-Jozsa算法能否推广至Z_M中非二元输出的函数？
• RQ2 能否仅通过一次函数评估与量子干涉解决推广后的问题？
• RQ3 是否可能消除推广后算法中对辅助寄存器初始化的需求？
• RQ4 “平衡”概念应如何推广至Z_M中输出的函数？
• RQ5 当辅助寄存器未制备为贝尔态时，相位回授机制的作用是什么？

主要发现

• 推广后的算法仅通过一次f的评估即可判断f: Z_N → Z_M是否为非恒定或非均匀分布。
• 当f为恒定函数时，控制寄存器的最终态为|0^n⟩，振幅为1，测量结果确定为|0^n⟩。
• 当f为均匀分布时，最终态中|0^n⟩的振幅恰好为0，因此|0^n⟩结果永不出现。
• 即使辅助寄存器以一般可分离叠加态制备（无需初始化为|−⟩），该算法依然有效。
• 该方法将相位回授机制推广至任意奇偶函数p: Z_M → Z_2^m，实现在无需辅助量子比特初始化的前提下实现与函数相关的相位移。
• 该算法实现了与原始Deutsch-Jozsa算法相同的量子优势，仅需一次查询即可解决问题，而经典方法在最坏情况下需多达N/2 + 1次评估。