[论文解读] Quantum Algorithm for Hilbert's Tenth Problem

Tien D. Kieu|ArXiv.org|Oct 24, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 17

一句话总结

本文提出了一种利用量子连续变量和绝热演化求解希尔伯特第十问题的量子算法——该问题在经典计算中已知为不可判定问题。若能在物理上实现，该算法将超越经典可计算性，挑战邱奇-图灵论题，表明物理原理而非仅数学公理定义了可计算性的界限。

ABSTRACT

We explore in the framework of Quantum Computation the notion of {\em Computability}, which holds a central position in Mathematics and Theoretical Computer Science. A quantum algorithm for Hilbert's tenth problem, which is equivalent to the Turing halting problem and is known to be mathematically noncomputable, is proposed where quantum continuous variables and quantum adiabatic evolution are employed. If this algorithm could be physically implemented, as much as it is valid in principle--that is, if certain hamiltonian and its ground state can be physically constructed according to the proposal--quantum computability would surpass classical computability as delimited by the Church-Turing thesis. It is thus argued that computability, and with it the limits of Mathematics, ought to be determined not solely by Mathematics itself but also by Physical Principles.

研究动机与目标

• 探索量子计算是否能够解决经典计算中不可计算的问题，特别是希尔伯特第十问题。
• 通过提出物理原理（而非仅数学公理）定义可计算性边界，挑战邱奇-图灵论题。
• 证明原则上，通过连续变量的量子绝热演化可借助希尔伯特第十问题的约化来解决停机问题。
• 研究构造一个哈密顿量及其基态以使该量子算法得以运行的可行性。

提出的方法

• 该算法利用量子连续变量和幺正变换，将丢番图方程映射为一个哈密顿量，其基态编码了解。
• 通过线性布戈柳波夫变换定义一个相干态 |0_c⟩ 作为哈密顿量演化中的参考态。
• 绝热演化由时间依赖的哈密顿量 H(s) 控制，其中 s ∈ [0,1]，从一个简单的初始哈密顿量演化到最终的问题哈密顿量。
• 应用维克定理将哈密顿量分解为正规排序项，通过期望值 ⟨c†c⟩ 和 ⟨c†c†⟩ 估算能隙。
• 通过 min_i |G_i(s)| 估算能隙，其中 G_i(s) 由哈密顿量展开中的系数导出，作为绝热演化时间的指示量。
• 提出在约束条件 u_i(s)、v_i(s) 和 K_i(s)=0 下对 E_b(s) 进行数值最小化，以改善真实基态的近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种量子算法能够求解希尔伯特第十问题，该问题在经典计算中已知为不可判定？
• RQ2 量子计算是否通过绝热演化和连续变量超越了邱奇-图灵论题所定义的经典可计算性界限？
• RQ3 能否构造一个物理哈密顿量，使其基态编码了某个丢番图方程的解？
• RQ4 该哈密顿量的能隙是否足够大，以确保在物理上合理的时间尺度内完成绝热演化？

主要发现

• 若在物理上可实现，所提出的算法将通过希尔伯特第十问题的约化求解停机问题，表明量子计算可能超越经典可计算性。
• 哈密顿量的能隙通过 min_i |G_i(s)| 估算，该值由应用维克定理和正规排序后哈密顿量展开中的系数导出。
• 线性布戈柳波夫变换的使用使得参考态 |0_c⟩ 的构建成为可能，该参考态可近似真实基态，从而支持能隙估算。
• 该方法允许通过哈密顿量展开中的正规排序项系统评估高阶修正项。
• 提出在约束条件 u_i(s)、v_i(s) 和 K_i(s)=0 下对 E_b(s) 进行数值最小化，以改善基态近似。
• 在不断增加的 Fock 基中对哈密顿量进行截断数值对角化，可进一步揭示能隙和绝热时间 T 的特性。