[论文解读] Quantum Algorithm for Optimization and Polynomial System Solving over Finite Field and Application to Cryptanalysis

Yu-Ao Chen, Xiao-Shan Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了在有限域上求解多项式系统及具有有界变量的整数优化问题的多项式时间量子算法，在问题的条件数较小时实现了指数级加速。关键贡献在于证明了基于格的后量子密码系统（如NTRU和SIS）仅在其相关方程系统的条件数较大时才安全，使得该参数成为新的安全准则。

ABSTRACT

In this paper, we give quantum algorithms for two fundamental computation problems: solving polynomial systems over finite fields and optimization where the arguments of the objective function and constraints take values from a finite field or a bounded interval of integers. The quantum algorithms can solve these problems with any given success probability and have polynomial runtime complexities in the size of the input, the degree of the inequality constraints, and the condition number of certain matrices derived from the problem. So, we achieved exponential speedup for these problems when their condition numbers are small. As applications, quantum algorithms are given to three basic computational problems in cryptography: the polynomial system with noise problem, the short integer solution problem, the shortest vector problem, as well as the cryptanalysis for the lattice based NTRU cryptosystem. It is shown that these problems and NTRU can against quantum computer attacks only if their condition numbers are large, so the condition number could be used as a new criterion for the lattice based post-quantum cryptosystems.

研究动机与目标

• 开发高效量子算法，用于求解有限域上的多项式系统及有界整数优化问题。
• 分析条件数在决定这些问题的量子加速中的作用。
• 将算法应用于密码学中的基础问题，包括PSWN、SIS、SVP以及NTRU的密码分析。
• 确立条件数作为基于格的后量子密码系统安全性的新准则。
• 证明仅当条件数较小时，对NTRU的量子攻击才可行，表明大条件数对安全性至关重要。

提出的方法

• 将优化问题中的等式与不等式约束转化为复数域上的布尔多项式系统，将其转化为B-POSSO（复数域上的布尔多项式系统求解）问题。
• 使用先前工作中的量子算法[12]求解所得的B-POSSO问题，利用幅度放大与量子态制备技术。
• 将变量表示为二进制字符串，并通过布尔变量的多项式方程编码约束，从而实现在复数上的量子计算。
• 基于从系统导出的矩阵的谱性质定义问题的条件数κ，该参数决定运行时间复杂度。
• 通过将特定密码学问题重新表述为有限域或整数上的优化或系统求解任务，将算法应用于具体问题。
• 利用目标函数最小化NTRU中私钥的次数，将问题转化为具有有界目标函数的B-POSSO实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在多项式时间内求解有限域上的多项式系统及有界整数优化问题？
• RQ2 在何种条件下，所提出的量子算法能相对于经典方法实现指数级加速？
• RQ3 系统的条件数如何影响求解多项式系统与优化问题的量子复杂度？
• RQ4 所提出的量子算法能否破解广泛使用的基于格的密码系统（如NTRU），在何种条件下？
• RQ5 条件数是否可作为基于格问题的后量子密码系统的可行新安全准则？

主要发现

• 该量子算法在成功概率至少为1−ε的条件下，以时间Õ(T_F^{3.5} D^{3.5} m^{5.5} log^{4.5}p κ² log(1/ε))求解有限域上的多项式系统，其中T_F为总稀疏度，D为与次数相关的参数，κ为条件数。
• 对于有限域和有界整数上的优化问题，该算法在输入大小、约束次数和条件数κ方面均具有多项式时间复杂度，当κ较小时可实现指数级加速。
• 多项式系统带噪声（PSWN）问题的量子算法复杂度为Õ(n^{3.5} T_F^{3.5} log^8 p κ²)，表明当条件数较小时具有可行性。
• 对NTRU的量子攻击复杂度为Õ(N^{4.5} log^{4.5}q κ² log(1/ε))，具体估算显示当(N,p,q)=(107,3,64)时为2^{45}κ²，表明仅当κ较大时才可行。
• 本文确立了基于格的后量子密码系统（包括NTRU和SIS）仅在其相关方程系统的条件数较大时，才能抵御量子攻击。
• 提出将条件数作为后量子密码系统的新安全准则，替代或补充传统假设（如最坏情况下的困难性）。