[论文解读] Quantum Algorithms and the Power of Forgetting

Andrew M. Childs, Matthew Coudron+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文证明，一类自然的高效量子算法——即保持包含 ENTRANCE 的顶点标签连通子图的算法——尽管能高效定位 EXIT，却无法在焊接树问题中找到从 ENTRANCE 到 EXIT 的路径。关键结果是一个形式化的禁止定理，表明此类算法发现路径的概率超过指数级小概率，暗示在此类问题中，量子加速依赖于遗忘中间路径信息。

ABSTRACT

The so-called welded tree problem provides an example of a black-box problem that can be solved exponentially faster by a quantum walk than by any classical algorithm. Given the name of a special ENTRANCE vertex, a quantum walk can find another distinguished EXIT vertex using polynomially many queries, though without finding any particular path from ENTRANCE to EXIT. It has been an open problem for twenty years whether there is an efficient quantum algorithm for finding such a path, or if the path-finding problem is hard even for quantum computers. We show that a natural class of efficient quantum algorithms provably cannot find a path from ENTRANCE to EXIT. Specifically, we consider algorithms that, within each branch of their superposition, always store a set of vertex labels that form a connected subgraph including the ENTRANCE, and that only provide these vertex labels as inputs to the oracle. While this does not rule out the possibility of a quantum algorithm that efficiently finds a path, it is unclear how an algorithm could benefit by deviating from this behavior. Our no-go result suggests that, for some problems, quantum algorithms must necessarily forget the path they take to reach a solution in order to outperform classical computation.

研究动机与目标

• 研究即使能高效定位 EXIT，量子算法是否能高效找到焊接树问题中从 ENTRANCE 到 EXIT 的路径。
• 分析一类自然的量子算法，其将包含 ENTRANCE 的顶点标签连通子图作为存储，并用作 oracle 输入。
• 证明此类算法无法以超过指数级小的概率成功找到 EXIT 或路径。
• 探讨该结果对‘遗忘’在超越标准干涉方法的量子加速中所起作用的启示。

提出的方法

• 定义‘真实’和‘有根’的量子算法，其在叠加态中保持包含 ENTRANCE 的顶点标签连通子图。
• 引入‘记录态’以追踪此类算法中 oracle 查询和顶点标签访问的历史。
• 通过将地址通过随机保持颜色的置换 σ 映射到顶点，构建真实、有根算法的经典模拟。
• 使用分布 Dn 的三色焊接树图来建模 oracle 环境，其中 EXIT 和环在高概率下被隐藏。
• 证明对于任意此类算法，遇到 EXIT 或环的概率被限制在 4p(n)⁴2⁻ⁿ/³ 以内，该值对多项式大小的子图而言为指数级小。
• 利用组合与概率论论证，包括并集界和路径嵌入分析，表明在随机 σ 下，子树嵌入极少命中 EXIT 或形成环。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效找到路径？
• RQ2 是否存在量子算法遗忘中间路径信息的根本限制，即使该信息可获取？
• RQ3 焊接树问题中的指数级量子加速是否依赖于算法无法追踪或存储路径历史？
• RQ4 经典算法能否在高保真度下模拟此类量子算法的行为，若能，其条件为何？
• RQ5 能否构造一个焊接树图的分布，使得此类算法中的任何经典或量子算法均无法以可忽略的概率找到 EXIT 或环？

主要发现

• 对于任何保持包含 ENTRANCE 的顶点标签连通子图并仅使用这些标签作为 oracle 输入的量子算法，找到 EXIT 或环的概率至多为 4p(n)⁴2⁻ⁿ/³。
• 该上界对任意多项式大小的子图而言均为指数级小，表明此类算法无法高效发现从 ENTRANCE 到 EXIT 的路径。
• 即使算法从三色焊接树图的分布中采样，该结果依然成立，表明禁止条件具有鲁棒性。
• 此类算法的经典模拟能忠实再现其行为，表明在此情况下，量子优势并非源于路径追踪。
• 分析表明，由于图的随机着色和结构，EXIT 和环对这些算法而言是隐蔽的，使得检测极不可能。
• 本文建立了正式的障碍：在某些问题中，遗忘路径信息的量子算法可能是实现指数级加速的必要条件。