[论文解读] Quantum Algorithms for Ground-State Preparation and Green's Function Calculation

Trevor Keen, Eugene Dumitrescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种基于线性酉组合（LCU）和 Hubbard-Stratonovich 变换的高效量子算法，用于基态制备和多体格林函数计算。该算法在基态制备方面实现了近似最优的复杂度 scaling $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\gamma\Delta}\log\frac{1}{\gamma\eta}\right)$，在格林函数计算方面实现了 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$ 的复杂度，并在费米-Hubbard 模型和 $q$-变形 XXZ 自旋链上进行了数值验证。

ABSTRACT

We propose quantum algorithms for projective ground-state preparation and calculations of the many-body Green's functions directly in frequency domain. The algorithms are based on the linear combination of unitary (LCU) operations and essentially only use quantum resources. To prepare the ground state, we construct the operator ${\exp}(-τ\hat{H}^2)$ using Hubbard-Stratonovich transformation by LCU and apply it on an easy-to-prepare initial state. Our projective state preparation procedure saturates the near-optimal scaling, $\mathcal{O}(\frac{1}{γΔ} \log \frac{1}{γη})$, of other currently known algorithms, in terms of the spectral-gap lower bound $Δ$, the additive error $η$ in the state vector, and the overlap lower bound $γ$ between the initial state and the exact ground state. It is straightforward to combine our algorithm with spectral-gap amplification technique to achieve quadratically improved scaling $\mathcal{O}(1/\sqrtΔ)$ for ground-state preparation of frustration-free Hamiltonians, which we demonstrate with numerical results of the $q$-deformed XXZ chain. To compute the Green's functions, including the single-particle and other response functions, we act on the prepared ground state with the retarded resolvent operator $R(ω+ iΓ; \hat{H})$ in the LCU form derived from the Fourier-Laplace integral transform (FIT). Our resolvent algorithm has $\mathcal{O}(\frac{1}{Γ^2} \log\frac{1}{Γε})$ complexity scaling for the frequency resolution $Γ$ of the response functions and the targeted error $ε$, while classical algorithms for FIT usually have polynomial scaling over the error $ε$. To illustrate the complexity scaling of our algorithms, we provide numerical results for their application to the paradigmatic Fermi-Hubbard model on a one-dimensional lattice with different numbers of sites.

研究动机与目标

• 开发能够以接近最优资源复杂度高效制备多体哈密顿量基态的量子算法。
• 通过量子解析延拓算符实现频率域中多体格林函数的直接计算。
• 通过投影方法与能隙放大技术，克服小能隙系统中基态制备资源消耗过高的问题。
• 利用傅里叶-拉普拉斯积分变换，在频率分辨响应函数上实现对经典方法的指数加速。
• 通过在一维费米-Hubbard 模型和 $q$-变形 XXZ 自旋链上的数值模拟，验证算法的实际可行性。

提出的方法

• 基态制备算法通过 Hubbard-Stratonovich 变换构造 $\exp(-\tau\hat{H}^2)$，并利用线性酉组合（LCU）实现该算符。
• 该方法通过在初始态上迭代应用算符 $\cos^M(H)$ 实现基态投影，其收敛性由能隙 $\Delta$、重叠 $\gamma$ 和误差 $\eta$ 决定。
• 对于格林函数计算，采用傅里叶-拉普拉斯积分变换（FIT）将滞后解析延拓算符 $R(\omega + i\Gamma; \hat{H})$ 表示为 LCU 形式。
• 该算法在频率分辨率 $\Gamma$ 和误差 $\epsilon$ 上实现 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$ 的复杂度，优于经典 FIT 方法。
• 将能隙放大技术与投影方法结合，使无 frustration 哈密顿量的复杂度达到 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\Delta}}\right)$ 的量级。
• 在一维费米-Hubbard 和 $q$-变形 XXZ 自旋链上进行数值验证，以确认复杂度行为与误差边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 LCU 实现 $\exp(-\tau\hat{H}^2)$ 的投影基态制备方法，能否在能隙 $\Delta$、重叠 $\gamma$ 和误差 $\eta$ 上实现接近最优的复杂度？
• RQ2 将投影方法与能隙放大技术结合，是否能在无 frustration 系统中实现 $\mathcal{O}(1/\sqrt{\Delta})$ 的二次改进复杂度？
• RQ3 能否通过基于 LCU 的解析延拓算符评估，实现频率域格林函数的 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$ 复杂度？
• RQ4 该算法在真实模型（如费米-Hubbard 和 $q$-变形 XXZ 自旋链）上的性能如何随系统规模和参数变化而体现？
• RQ5 在存在能隙和初始态重叠的情况下，为维持误差边界，基态能量的精度和 LCU 项数应达到何种水平？

主要发现

• 基态制备算法实现了 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\gamma\Delta}\log\frac{1}{\gamma\eta}\right)$ 的复杂度，达到了投影方法的近似最优边界。
• 对于无 frustration 哈密顿量，能隙放大技术使复杂度达到 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\Delta}}\right)$，在 $q$-变形 XXZ 自旋链上的数值结果已证实该性能。
• 格林函数算法在频率分辨率 $\Gamma$ 和误差 $\epsilon$ 上的复杂度为 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$，相较于经典 FIT 方法具有指数优势。
• 基态能量精度需求为 $\mathcal{O}\left(\frac{\Delta}{\log^{1/2}\frac{1}{\gamma\eta}}\right)$，该结果由条件 $\tau' \sim \Delta / \log^{1/2}(1/\gamma\eta)$ 推导得出。
• LCU 项数 $m_0$ 的复杂度为 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Delta}\log\frac{\sqrt{2}}{\gamma\eta}\right)$，其中 $\sqrt{2}$ 因子确保了在数值比较中更严格的误差控制。
• 在一维费米-Hubbard 模型上的数值结果证实了预测的复杂度行为，且在不同系统尺寸和参数下均保持一致。