[论文解读] Quantum Algorithms for Optimization and Polynomial Systems Solving over Finite Fields.

Yu-Ao Chen, Xiao-Shan Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2018

Coding theory and cryptography被引用 2

一句话总结

本文提出了一种量子算法，用于在输入规模和条件数的多项式时间复杂度下求解有限域上的多项式系统和优化问题，当条件数较小时可实现指数级加速。核心创新在于将有限域问题转化为复数域上的布尔解寻找问题，同时保持稀疏性和变量数量不变。

ABSTRACT

In this paper, we give quantum algorithms for two fundamental computation problems: solving polynomial systems and optimization over finite fields. The quantum algorithms can solve these problems with any given probability and have complexities polynomial in the size of the input and the condition number of certain polynomial system related to the problem. So, we achieved exponential speedup for these problems when their condition numbers are small. As special cases of the optimization problem, quantum algorithms are given for the polynomial systems with noise, the short integer solution problem, cryptanalysis for the lattice based NTRU cryptosystems. The main technical contribution of the paper is how to reduce polynomial system solving and optimization over finite fields into the determination of Boolean solutions of a polynomial system over C, under the condition that the number of variables and the total sparseness of the new system is well controlled.

研究动机与目标

• 开发高效的量子算法，用于求解有限域上的多项式系统和优化问题。
• 在相关多项式系统的条件数较小时，实现这些问题的指数级加速。
• 解决实际的密码学挑战，如最短整数解问题和NTRU密码分析。
• 将有限域计算问题转化为复数域上具有可控稀疏性和变量数的布尔解寻找问题。
• 为噪声多项式系统和基于格的密码分析提供量子解法。

提出的方法

• 将有限域上的多项式系统转化为复数域上具有可控变量数和稀疏性的等价系统。
• 将优化和系统求解任务转化为在复数域上确定多项式系统的布尔解。
• 利用在输入规模和条件数上具有多项式复杂度的复数域多项式系统求解量子算法。
• 确保新系统的总稀疏性和变量数在原始问题规模的多项式边界内。
• 使用量子幅度放大和幅度估计算法以实现高概率解。
• 将该约化技术应用于特殊情况，如噪声系统和基于格的密码系统（如NTRU）。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在输入规模和条件数的多项式复杂度下求解有限域上的多项式系统？
• RQ2 当条件数较小时，优化和系统求解在有限域上的可实现加速程度如何？
• RQ3 如何在不显著增加变量数或稀疏性的前提下，将有限域问题约化为复数域上的布尔解寻找问题？
• RQ4 所提出的方法能否应用于最短整数解问题等密码分析问题？
• RQ5 在存在噪声的有限域多项式系统中，量子方法在多大程度上能实现高效求解？

主要发现

• 所提出的量子算法在输入规模和条件数的多项式复杂度下求解了有限域上的多项式系统和优化问题。
• 当相关多项式系统的条件数较小时，实现了指数级加速。
• 约化为复数域上的布尔解保持了稀疏性和变量数在多项式边界内。
• 该方法作为特例，为最短整数解问题提供了高效的量子解法。
• 该方法通过将NTRU等基于格的密码系统转化为可求解的多项式系统，支持其密码分析。
• 该框架适用于噪声多项式系统，扩展了其在存在不完美数据的实际场景中的适用性。