[论文解读] Quantum algorithms for shortest paths problems in structured instances

Aran Nayebi, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用 3

一句话总结

本论文首次提出了结构化全源最短路径（APSP）问题的非平凡量子算法，通过结合量子最小值查找与量子 Dijkstra 算法及经典技术，实现了亚 2.5 次方时间复杂度。该方法为几何加权图获得了 $\tilde{O}(n^{2.5 - (2.5 - \theta)/(4\theta + 2)})$ 时间复杂度的算法，为全源非递减路径问题获得了 $\tilde{O}(n^{2.487})$ 的时间复杂度，首次在这些问题上实现了超越 Grover 的 $\tilde{O}(n^{2.5})$ 时间界限的量子加速。

ABSTRACT

We consider the quantum time complexity of the all pairs shortest paths (APSP) problem and some of its variants. The trivial classical algorithm for APSP and most all pairs path problems runs in $O(n^3)$ time, while the trivial algorithm in the quantum setting runs in $ ilde{O}(n^{2.5})$ time, using Grover search. A major open problem in classical algorithms is to obtain a truly subcubic time algorithm for APSP, i.e. an algorithm running in $O(n^{3-\varepsilon})$ time for constant $\varepsilon>0$. To approach this problem, many truly subcubic time classical algorithms have been devised for APSP and its variants for structured inputs. Some examples of such problems are APSP in geometrically weighted graphs, graphs with small integer edge weights or a small number of weights incident to each vertex, and the all pairs earliest arrivals problem. In this paper we revisit these problems in the quantum setting and obtain the first nontrivial (i.e. $O(n^{2.5-\varepsilon})$ time) quantum algorithms for the problems.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：APSP 是否存在一个非平凡的量子算法，其时间复杂度为 $O(n^{2.5 - \theta})$，其中 $\theta > 0$。
• 将已知的结构化 APSP 变体的类经典真正亚立方时间算法推广至量子设置，并实现更优的时间复杂度。
• 为几何加权图、点权图以及每个顶点的边权种类有限的图设计量子算法。
• 为全源非递减路径（APNP）问题提供首个量子加速，该问题是带有非递减路径约束的 APSP 变体。
• 探索最小三角形问题与 APSP 之间的量子复杂度等价性，并识别新的量子加速前沿。

提出的方法

• 利用量子最小值查找与量子 Dijkstra 算法，将 Chan 的类经典真正亚立方时间算法适配至几何图的量子设置。
• 通过时间复杂度为 $O(n^{2.473})$ 的量子算法实现 $(\text{min}, \text{sum})$ 乘积计算，以高效计算短的非递减路径。
• 采用命中集论证方法，通过选择 $\tilde{O}(n/s)$ 个代表性节点来减少长路径的计算量，用于量子 Dijkstra 计算。
• 将经典 Dijkstra 步骤替换为使用振幅放大技术的量子变体，使命中集内每个节点的代价降至 $O(n^{1.5})$。
• 结合矩阵乘法技术与量子搜索，以加速结构化实例中距离乘积的计算。
• 利用经典设置中最小三角形与 APSP 的等价性，推导出若三角形问题可更快求解，则 APSP 在量子设置中也可获得相应加速的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在经典真正亚立方时间算法存在的结构化实例中，构造出 APSP 的非平凡量子算法？
• RQ2 在几何加权图中，若常数 $\kappa$ 固定，APSP 的量子时间复杂度是多少？
• RQ3 能否在全源非递减路径（APNP）问题中实现量子加速，该问题可建模调度应用？
• RQ4 是否存在经典真正亚立方等价性（最小三角形与 APSP）的量子类比？
• RQ5 能否使结构化图中 APSP 的量子算法达到 $O(n^{2.5 - \varepsilon})$ 时间复杂度，其中 $\varepsilon > 0$？

主要发现

• 为几何加权图中的 APSP 问题设计了 $\tilde{O}(n^{2.5 - (2.5 - \omega)/(4\kappa + 2)})$ 时间复杂度的量子算法，其中 $\omega < 2.373$，$\kappa$ 为依赖于权值函数族的常数。
• 对于全源非递减路径（APNP）问题，实现了 $\tilde{O}(n^{2.487})$ 时间复杂度的量子算法，优于经典算法的 $\tilde{O}(n^{2.843})$ 上限。
• 为每个顶点最多有 $L$ 种不同边权的图，获得了 $\tilde{O}(\sqrt{n}^{2.5 - (2.5 - \omega)/6})$ 时间复杂度的量子算法，优于经典算法的 $\tilde{O}(\sqrt{L}n^{(9+\omega)/4})$ 运行时间。
• 论文建立了经典真正亚立方等价性的量子类比：若最小三角形问题可在 $O(n^{1.5 - \varepsilon})$ 时间内求解，则 APSP 可在 $O(n^{2.5 - \delta})$ 时间内求解，其中 $\delta > 0$。
• 结果表明，量子算法可在结构化 APSP 变体中实现超越 Grover 的 $\tilde{O}(n^{2.5})$ 时间界限的非平凡加速。
• 该方法可推广至所有已知具有经典真正亚立方时间算法的 APSP 变体，包括点权图与小整数权值图。