[论文解读] Quantum algorithms for zero-sum games

Joran van Apeldoorn, András Gilyén|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种基于量子吉布斯采样计算双人零和博弈中近似纳什均衡的量子算法，实现了次线性查询复杂度。对于密集收益矩阵，查询复杂度为 $\tilde{O}(σn+m/ε^3)$；对于稀疏收益矩阵，查询复杂度为 $\tilde{O}(√s/ε^{3.5})$，并进一步扩展至量子线性规划求解器，显著改善了误差和稀疏性依赖关系。

ABSTRACT

We derive sublinear-time quantum algorithms for computing the Nash equilibrium of two-player zero-sum games, based on efficient Gibbs sampling methods. We are able to achieve speed-ups for both dense and sparse payoff matrices at the cost of a mildly increased dependence on the additive error compared to classical algorithms. In particular we can find $\varepsilon$-approximate Nash equilibrium strategies in complexity $ ilde{O}(\sqrt{n+m}/\varepsilon^3)$ and $ ilde{O}(\sqrt{s}/\varepsilon^{3.5})$ respectively, where $n imes m$ is the size of the matrix describing the game and $s$ is its sparsity. Our algorithms use the LP formulation of the problem and apply techniques developed in recent works on quantum SDP-solvers. We also show how to reduce general LP-solving to zero-sum games, resulting in quantum LP-solvers that have complexities $ ilde{O}(\sqrt{n+m}γ^3)$ and $ ilde{O}(\sqrt{s}γ^{3.5})$ for the dense and sparse access models respectively, where $γ$ is the relevant "scale-invariant" precision parameter

研究动机与目标

• 开发能够以次线性查询复杂度计算双人零和博弈中近似纳什均衡的量子算法。
• 与先前基于量子SDP的方法相比，降低量子线性规划求解器在误差和稀疏性方面的依赖性。
• 证明在不依赖尺度参数的情况下，矩阵博弈中也可实现量子加速，提升实际适用性。
• 展示如何将一般线性规划问题约化为零和博弈，从而实现具有改进复杂度的新量子LP求解器。

提出的方法

• 该算法采用零和博弈的线性规划形式化，并应用量子吉布斯采样技术，高效采样最优策略分布。
• 对于密集矩阵，通过利用量子算法对经典迭代方法的加速，实现 $\tilde{O}(√{n+m}/ε^3)$ 的查询复杂度。
• 对于稀疏矩阵，算法利用收益矩阵中的稀疏性，将复杂度降低至 $\tilde{O}(√s/ε^{3.5})$，其中 $s$ 为每行或每列的最大非零项数。
• 通过将LP约束嵌入一个具有可控误差的游戏矩阵，将一般线性规划问题约化为零和博弈。
• 利用弱对偶性和可行性松弛，确保以加法误差 $ε^{\prime\prime\prime}$ 求解博弈，即可保证原LP问题的 $ε$-最优性。
• 通过用量子振幅放大和吉布斯采样替代经典迭代，实现量子加速，同时保持精度并减少查询次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在零和博弈中计算近似纳什均衡时实现次线性查询复杂度？
• RQ2 该量子算法的误差依赖性与经典方法及先前基于量子SDP的方法相比如何？
• RQ3 对收益矩阵的稀疏访问是否能带来量子算法在矩阵博弈中复杂度量级的改进？
• RQ4 是否可能在保持量子加速并改善误差依赖性的前提下，将一般线性规划约化为零和博弈？
• RQ5 基于稀疏感知访问的零和博弈约化，求解LP问题的最小量子查询复杂度是多少？

主要发现

• 论文在密集收益矩阵上实现了 $\tilde{O}(√{n+m}/ε^3)$ 的量子查询复杂度，相对于经典算法在 $n+m$ 上实现了平方级加速。
• 对于稀疏矩阵，算法实现了 $\tilde{O}(√s/ε^{3.5})$ 的查询复杂度，其中 $s$ 为稀疏度，为稀疏情形提供了更优的复杂度量级。
• 基于密集博弈约化的量子LP求解器对精度参数 $ε$ 的依赖为立方级，优于先前量子SDP求解器的五次方依赖。
• 该稀疏量子LP求解器是首个依赖于LP稀疏度 $s$ 而非 $n$ 和 $m$ 的算法，为稀疏问题提供了更优性能。
• 从LP到零和博弈的约化确保，当以加法误差 $ε^{\prime\prime\prime} = ε/(6R(r+1))$ 求解博弈时，可获得原LP问题的 $ε$-最优且 $ε$-可行解。
• 通过在变换后的博弈中使用弱对偶性和可行性松弛，该方法保持了正确性与精度，确保误差传播有界。