[论文解读] Quantum and Classic Brackets

Vladimir V. Kisil|ArXiv.org|Jul 25, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文提出了一种在海森堡群上的统一p-力学括号形式，无需半经典极限即可生成经典泊松括号与量子对易子。通过在(q,p,ħ)的相空间对偶空间（s,x,y）中表示可观测量，该框架从单一代数结构推导出哈密顿方程与海森堡方程，展示了在谐振子模型中经典与量子动力学的等价性，其几何演化发生在塞格尔-巴尔格曼空间中。

ABSTRACT

We describe an $p$-mechanical (see funct-an/9405002 and quant-ph/9610016) brackets which generate quantum (commutator) and classic (Poisson) brackets in corresponding representations of the Heisenberg group. We \emph{do not} use any kind of semiclassic approximation or limiting procedures for $\hbar o 0$. Harmonic oscillator considered within the approach. Keywords: Classic and quantum mechanics, Hamilton and Heisenberg equations, Poisson brackets, commutator, Heisenberg group.

研究动机与目标

• 在海森堡群基础上，建立一个统一经典与量子力学的单一代数框架。
• 消除连接经典与量子动力学时对半经典近似或ħ → 0极限的依赖。
• 表明海森堡群的一维幺正表示自然编码了经典力学，正如无穷维表示编码了量子力学。
• 从单一p-力学括号形式推导出经典与量子的动力学方程。

提出的方法

• 引入一个与(q,p,ħ)对偶的p-力学相空间(s,x,y)，其中(x,y)是(q,p)的傅里叶共轭，s是ħ的傅里叶对偶。
• 利用海森堡群Hⁿ上的群卷积代数定义p-括号，其生成元来自左不变与右不变向量场。
• 利用斯通-冯诺依曼定理，将Hⁿ的不可约幺正表示与薛定谔表示（量子）及一维表示（经典）联系起来。
• 将p-括号构造为作用于函数f(s,x,y)上的微分算子，其在ħ→0极限下给出经典泊松括号，在标准表示下给出量子对易子。
• 将该形式化应用于谐振子，表明其演化在经典与量子情形下均表现为塞格尔-巴尔格曼表示中的几何旋转。
• 利用巴尔格曼投影将哈密顿量映射到福克空间中的欧拉算子，保持动力学的旋转对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过单一代数括号在无需半经典近似的情况下同时生成经典泊松括号与量子对易子？
• RQ2 海森堡群的一维幺正表示如何以类似于无穷维表示编码量子力学的方式，编码经典动力学？
• RQ3 在塞格尔-巴尔格曼空间中，p-力学谐振子演化具有何种几何结构？
• RQ4 p-括号形式如何在经典与量子领域统一哈密顿方程与海森堡方程？
• RQ5 (q,p,ħ)与(x,y,s)之间的傅里叶对偶性在统一经典与量子力学中起到何种作用？

主要发现

• p-括号在海森堡群的一维表示下生成经典泊松括号，在薛定谔表示下生成量子对易子，无需ħ → 0。
• p-力学动力学方程(3.33)在各自表示下分别约化为经典哈密顿方程与量子海森堡方程。
• 对于谐振子，解f(t;s,x,y) = f₀(s, e⁻ⁱᵗz)在相空间中表现为几何旋转，经典与量子情形下形式完全相同。
• 在塞格尔-巴尔格曼表示中，量子哈密顿量变为欧拉算子∑zⱼ∂/∂zⱼ，其时间演化为eⁱⁿᵗ/²f(eⁱᵗz)，保持状态在旋转下不变。
• 量子哈密顿量的本征函数为单项式zⁿ，本征值为n，时间演化中无跃迁发生，表明能量态稳定。
• p-括号形式揭示了一种深层对称性：经典与量子动力学均源于Hⁿ上的同一基础群结构，唯一区别在于表示的选择。