[论文解读] Quantum and Classical Low-Degree Learning via a Dimension-Free Remez Inequality

Klein, Ohad, Joseph Slote+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

本文提出了一种适用于多环面的无维数 Remez 型不等式，使在超网格 [K]^n 和量子位系统上对低次函数实现 O(log n) 样本复杂度和多项式时间学习成为可能。通过将循环群上的离散函数与其在多环面上的调和延拓联系起来，作者建立了无维数的 Bohnenblust–Hille 不等式，克服了在高维量子与经典设置中高效学习的主要障碍。

ABSTRACT

Recent efforts in Analysis of Boolean Functions aim to extend core results to new spaces, including to the slice $\binom{[n]}{k}$, the hypergrid $[K]^n$, and noncommutative spaces (matrix algebras). We present here a new way to relate functions on the hypergrid (or products of cyclic groups) to their harmonic extensions over the polytorus. We show the supremum of a function $f$ over products of the cyclic group $\{\exp(2πi k/K)\}_{k=1}^K$ controls the supremum of $f$ over the entire polytorus $(\{z\in\mathbf{C}:|z|=1\}^n)$, with multiplicative constant $C$ depending on $K$ and $ ext{deg}(f)$ only. This Remez-type inequality appears to be the first such estimate that is dimension-free (i.e., $C$ does not depend on $n$). This dimension-free Remez-type inequality removes the main technical barrier to giving $\mathcal{O}(\log n)$ sample complexity, polytime algorithms for learning low-degree polynomials on the hypergrid and low-degree observables on level-$K$ qudit systems. In particular, our dimension-free Remez inequality implies new Bohnenblust--Hille-type estimates which are central to the learning algorithms and appear unobtainable via standard techniques. Thus we extend to new spaces a recent line of work \cite{EI22, CHP, VZ22} that gave similarly efficient methods for learning low-degree polynomials on the hypercube and observables on qubits. An additional product of these efforts is a new class of distributions over which arbitrary quantum observables are well-approximated by their low-degree truncations -- a phenomenon that greatly extends the reach of low-degree learning in quantum science \cite{CHP}.

研究动机与目标

• 将高效低次学习从超立方体和量子比特系统扩展到任意局部维数 K ≥ 2 的一般超网格 [K]^n 和量子位系统。
• 通过在多环面上建立无维数 Remez 型不等式，克服先前学习算法中依赖维数的障碍。
• 为 [K]^n 上函数的傅里叶系数和 H^⊗n_K 上可观测量推导出新的无维数 Bohnenblust–Hille 型不等式。
• 证明在特定分布下，低次截断能良好逼近任意量子可观测量，从而扩展了量子科学中低次学习的适用范围。

提出的方法

• 将函数 f: [K]^n → ℂ 的调和延拓至多环面 (S^1)^n，证明 [K]^n 上的 |f| 上确界控制 (S^1)^n 上的 |f| 上确界，仅依赖于 K 和 deg(f) 的常数。
• 证明无维数 Remez 型不等式：对任意 [K]^n 上次数为 d 的 f，有 ‖f‖_{L^∞((S^1)^n)} ≤ C(K,d) ‖f‖_{L^∞([K]^n)}，其中 C 不依赖于 n。
• 利用该不等式，推导出 [K]^n 上傅里叶系数和量子位系统中 Gell-Mann 基系数的无维数 Bohnenblust–Hille 不等式。
• 分析在 L2-设计不变（L2DI）分布下量子可观测量的噪声稳定性，表明低次截断与完整可观测量之间的误差随截断次数呈指数衰减。
• 将不等式应用于设计一种学习算法，通过采样乘积态并构造可观测量 A 的低次近似，实现 O(log n) 样本复杂度和多项式时间复杂度。
• 利用 Gell-Mann 和 Heisenberg–Weyl 基的结构关系，关联特征子空间并推导出截断可观测量算子范数的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为超网格 [K]^n 上的函数及其在多环面上的调和延拓建立无维数 Remez 型不等式？
• RQ2 由此产生的不等式是否能实现对 [K]^n 和量子位系统上低次函数学习的 O(log n) 样本复杂度？
• RQ3 在 L2DI 分布下，量子可观测量的低次截断在多大程度上能逼近完整可观测量？
• RQ4 在量子位系统的推导中，Bohnenblust–Hille 不等式中的常数是否如超立方体情形一样在次数 d 上为亚指数级？
• RQ5 Gell-Mann 和 Heisenberg–Weyl 基在关联特征子空间和实现无维数界中起什么作用？

主要发现

• 证明了无维数 Remez 型不等式：对任意 f: [K]^n → ℂ 且次数为 d，多环面上的 L^∞ 范数被 C(K,d) 倍的 [K]^n 上的 L^∞ 范数所控制，其中 C 不依赖于 n。
• 该不等式蕴含了 [K]^n 上傅里叶系数的新型无维数 Bohnenblust–Hille 不等式，常数仅依赖于 K 和 d。
• 对于量子位系统，该不等式给出了可观测量 A 的 Gell-Mann 基系数在 L^{2d/(d+1)}-范数上的界，以其实算子范数表示。
• 在 L2DI 分布下，完整可观测量 A 与其 d 次截断 A≤d 之间的 L^2 误差被 (K/(K^2−1))^d ‖A‖_2^2 所控制。
• 构造了一种学习算法，实现了对低次量子位可观测量的 O(log n) 样本复杂度和多项式时间复杂度，误差 ε 所需样本数为 s = O(K^{3/2} log(n/δ) e^{c·log^2(1/ε) ‖A≤t‖_op^{2t}})。
• 该方法将低次学习扩展至量子位系统，并表明在某些分布下，低次截断能良好逼近任意可观测量，即使完整可观测量对应于指数时间过程。