[论文解读] Quantum Annealing: a journey through Digitalization, Control, and hybrid Quantum Variational schemes

Glen Bigan Mbeng, Rosario Fazio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 41

一句话总结

该论文将数字化量子退火 (dQA) 与 QAOA 和最优量子控制联系起来，证明了对 2-正则图的 MaxCut 的残余能量界，同时展示如何在 QAOA 内构造一个正则的、类绝热的数字化-QA 调度。

ABSTRACT

We establish and discuss a number of connections between a digitized version of Quantum Annealing (QA) with the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) introduced by Farhi et al. (arXiv:1411.4028) as an alternative hybrid quantum-classical variational scheme for quantum-state preparation and optimization. We introduce a technique that allows to prove, for instance, a rigorous bound concerning the performance of QAOA for MaxCut on a $2$-regular graph, equivalent to an unfrustrated antiferromagnetic Ising chain. The bound shows that the optimal variational error of a depth-$\mathrm{P}$ quantum circuit has to satisfy $ε^\mathrm{res}_{\mathrm{P}}\ge (2\mathrm{P}+2)^{-1}$. In a separate work (Mbeng et al., arXiv:1911.12259) we have explicitly shown, exploiting a Jordan-Wigner transformation, that among the $2^{\mathrm{P}}$ degenerate variational minima which can be found for this problem, all strictly satisfying the equality $ε^\mathrm{res}_{\mathrm{P}}=(2\mathrm{P}+2)^{-1}$, one can construct a special {\em regular} optimal solution, which is computationally optimal and does not require any prior knowledge about the spectral gap. We explicitly demonstrate here that such a schedule is adiabatic, in a digitized sense, and can therefore be interpreted as an optimized digitized-QA protocol. We also discuss and compare our bound on the residual energy to well-known results on the Kibble-Zurek mechanism behind a continuous-time QA. These findings help elucidating the intimate relation between digitized-QA, QAOA, and optimal Quantum Control.

研究动机与目标

• 在 NISQ 时代建立 digitized QA、QAOA 与最优量子控制之间的联系。
• 推导对应用于 2-正则图的 MaxCut 的 QAOA 的残余能量的严格界限。
• 在 QAOA 内证明存在一个正则的、类绝热的数字化-QA 调度。
• 阐明边界条件和约简自旋链如何产生可处理的解析界限。

提出的方法

• 将 MaxCut 建模为一个反铁磁伊辛问题，编码在成本哈密顿量 H_z 中。
• 描述带参数 gamma_m 和 beta_m 的连续时间 QA 及其数字化/ Trotter 化变体。
• 将 QAOA 定义为 H_z 与 H_x 的 P 深度数字化交替及其残余能量 epsilon^res_P。
• 利用平移不变性和边界条件自由度导出下界 epsilon^res_P >= 1/(2P+2) 当 2P < N。
• 应用 Jordan-Wigner 映射将问题映射到独立的两能级系统，并给出以 k-模表示的 epsilon^res_P 表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在求解组合优化问题中，digitized-QA 与 QAOA 之间的关系是什么？
• RQ2 能否在简单的规则图上推导出对 QAOA 的残余能量的严格界限，以及在何种条件下它是紧的？
• RQ3 在不具备谱隙信息的情况下，能否在 digitized QA 框架内识别出一个类绝热的、正则的 QAOA 调度？
• RQ4 边界条件和约简自旋链如何影响残余能量以及 QAOA 调度的最优性？

主要发现

• 对 2-正则图的 MaxCut 的残余能量的变分界：epsilon^res_P >= 1/(2P+2) 当 2P < N，且 epsilon^res_P = 0 当 2P >= N。
• 当使用反周期边界条件时界是严格的，并且通过平移不变性，约简链的论证证明了该界。
• Jordan-Wigner 映射显示问题分解为独立的两能级系统，使得对每个模对残余能量贡献的显式表达成为可能。
• 存在一个正则的、类绝热的 QAOA 调度在 digitized-QA 内，可以使残余能量界达到饱和且无需谱隙信息即可构造。
• 最优 QAOA 轮廓呈现周期性和对称性性质，有证据表明在某些区间内，最优参数在中等 P 时满足 beta = gamma'（对称流形）。