[论文解读] Quantum approximate optimization algorithm for qudit systems

Yannick Deller, Sebastian Schmitt+6 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

该论文将量子近似优化算法（QAOA）扩展至d量子系统（d-水平量子系统），展示了其在图着色和电动车充电调度等整数优化问题中的应用。通过使用角动量算符和广义泡利算符编码代价函数与约束，作者表明基于qudit的QAOA能够高效表示整数变量，并通过惩罚项、条件门或动态解耦等方式强制执行约束，在NISQ设备中相比基于qubit的方法实现了更高的资源效率。

ABSTRACT

A frequent starting point of quantum computation platforms are two-state quantum systems, i.e., qubits. However, in the context of integer optimization problems, relevant to scheduling optimization and operations research, it is often more resource-efficient to employ quantum systems with more than two basis states, so-called qudits. Here, we discuss the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) for qudit systems. We illustrate how the QAOA can be used to formulate a variety of integer optimization problems such as graph coloring problems or electric vehicle (EV) charging optimization. In addition, we comment on the implementation of constraints and describe three methods to include these into a quantum circuit of a QAOA by penalty contributions to the cost Hamiltonian, conditional gates using ancilla qubits, and a dynamical decoupling strategy. Finally, as a showcase of qudit-based QAOA, we present numerical results for a charging optimization problem mapped onto a max-$k$-graph coloring problem. Our work illustrates the flexibility of qudit systems to solve integer optimization problems.

研究动机与目标

• 开发一种将量子近似优化算法（QAOA）应用于qudit系统的方法框架，以实现相较于qubit在整数优化问题中更高的资源效率。
• 展示qudit系统如何自然地表示整数变量，从而相比二进制qubit编码减少硬件开销。
• 提供多种策略——惩罚项、辅助qudit控制的条件门以及动态解耦——用于在qudit-based QAOA电路中强制执行线性约束。
• 通过数值基准测试，评估简化后的电动车充电优化问题（映射为最大k-图着色问题）中qudit-based QAOA的性能。
• 建立一种可扩展且实验上可行的方法，用于在离子阱、超冷原子和超导电路等平台中利用qudit实现QAOA。

提出的方法

• 使用角动量算符$L_z$和d维qudit的广义泡利算符，将整数代价函数编码为哈密顿量，实现整数变量的直接表示。
• 通过向代价哈密顿量中添加惩罚项来表述约束，使约束在变分优化过程中通过能量惩罚得以实现。
• 利用受辅助qudit控制的条件量子门实现约束，使线性约束在量子电路中被精确强制执行。
• 应用动态解耦策略以抑制约束执行过程中的退相干，提升噪声中等规模量子（NISQ）设备中的电路保真度。
• 通过时间离散化并将qudit态用于表示调度决策，将现实世界优化问题（如电动车充电和作业车间调度）映射为基于qudit的QAOA。
• 采用变分QAOA框架，交替使用$X$和$Z$型演化层，通过经典反馈优化，以最小化qudit希尔伯特空间中的代价函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 QAOA能否有效从基于qubit的系统扩展至基于qudit的系统，以求解整数优化问题？
• RQ2 如何利用$L_z$和广义泡利矩阵等物理算符，在qudit希尔伯特空间中高效编码优化问题中的整数变量与约束？
• RQ3 在基于qudit的QAOA电路中，强制执行线性约束的最有效策略是什么？它们在资源成本与电路深度方面的表现如何比较？
• RQ4 在求解电动车充电和图着色等实际优化问题时，基于qudit的QAOA与基于qubit的QAOA相比性能如何？
• RQ5 通过减少表示整数变量所需的qudit数量，基于qudit的QAOA是否能在NISQ设备中实现更好的资源效率？

主要发现

• 基于qudit的QAOA成功将最大k-图着色和电动车充电调度等整数优化问题映射到qudit希尔伯特空间，利用角动量算符实现整数变量的直接编码。
• 与二进制qubit编码相比，使用qudit可减少硬件开销，因为每个维度为$d$的qudit可直接表示$d$个整数值。
• 展示了三种不同的约束强制方法——惩罚项、基于辅助qudit的条件门和动态解耦——每种方法在电路复杂度与抗错误能力之间存在权衡。
• 针对简化电动车充电问题（映射为最大k-图着色问题）的数值模拟表明，基于qudit的QAOA以低电路深度收敛至近似最优解。
• 该方法可自然且高效地编码作业车间调度中的约束，如作业操作不重叠和机器使用限制，通过qudit算符中的二次及高阶项实现。
• 该方法在离子阱、光学腔中的超冷原子以及超导电路等平台中具有实验可行性，因为这些平台中qudit级操作正日益可实现。