[论文解读] Quantum Assisted Eigensolver

Kishor Bharti|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2020

Advanced Fiber Laser Technologies参考文献 1被引用 19

一句话总结

本文提出了一种名为量子辅助本征求解器（Quantum Assisted Eigensolver, QAE）的混合量子-经典算法，用于近似计算哈密顿量的基态及基态能量。与变分量子本征求解器不同，QAE 通过仅使用量子硬件计算重叠矩阵 D 和 E，消除了经典-量子反馈循环，随后在经典二次约束二次规划（QCQP）中求解最优变分态系数。该方法通过凸松弛技术提供可高效计算的下界，并给出全局最优性的充分条件，从而实现可靠的收敛性。

ABSTRACT

We propose a hybrid quantum-classical algorithm for approximating the ground state and ground state energy of a Hamiltonian. Once the Ansatz has been decided, the quantum part of the algorithm involves the calculation of two overlap matrices. The output from the quantum part of the algorithm is utilized as input for the classical computer. The classical part of the algorithm is a quadratically constrained quadratic program with a single quadratic equality constraint. Unlike the variational quantum eigensolver algorithm, our algorithm does not have any classical-quantum feedback loop. Using convex relaxation techniques, we provide an efficiently computable lower bound to the classical optimization program. Furthermore, using results from Bar-On et al. (Journal of Optimization Theory and Applications, 82(2):379--386, 1994), we provide a sufficient condition for a local minimum to be a global minimum. A solver can use such a condition as a stopping criterion.

研究动机与目标

• 开发一种适用于 NISQ 时代、用于近似计算哈密顿量基态及其能量的混合量子-经典算法。
• 消除变分量子算法（如 VQE）中固有的经典-量子反馈循环，该循环易导致参数稀释平原问题。
• 基于带单个二次等式约束的 QCQP 构建经典优化框架，实现理论保证与高效下界计算。
• 利用凸松弛技术（拉格朗日松弛与半定松弛）为给定变分态计算可高效计算的基态能量下界。
• 建立局部最小值为全局最优的充分条件，使求解器可将其作为终止准则。

提出的方法

• 该算法首先选择一个变分态，作为 m 个可高效制备的量子态 |φⱼ⟩ 的线性组合，其系数为复数 α。
• 量子硬件计算哈密顿量 H = Σᵢ βᵢUᵢ 中每个酉算符 Uᵢ 的矩阵元 ⟨φⱼ|Uᵢ|φₖ⟩，形成矩阵 D，其元素为 Dⱼₖ = Σᵢ βᵢ⟨φⱼ|Uᵢ|φₖ⟩。
• 重叠矩阵 E 由内积 ⟨φⱼ|φₖ⟩ 计算得到，表示变分态的归一化结构。
• 经典优化步骤求解 QCQP：在约束 αᵀEα = 1 下最小化 ⟨H(α)⟩ = αᵀDα，其中 α ∈ ℂᵐ。
• 应用凸松弛技术——拉格朗日松弛与半定松弛——以计算最优能量的可高效计算下界。
• 基于 Bar-On 等人（1994）的结果，推导出局部最小值为全局最优的充分条件，使求解器可在满足该条件时终止。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种混合量子-经典算法，可在无需迭代经典-量子反馈的情况下近似计算哈密顿量的基态能量？
• RQ2 利用量子硬件计算的重叠矩阵 D 和 E 是否可使经典 QCQP 产生高精度的基态近似？
• RQ3 凸松弛技术能否为给定变分态提供可高效计算的基态能量下界？
• RQ4 是否存在一个充分条件，使经典求解器能在非凸 QCQP 中验证全局最优性，从而实现可靠收敛？
• RQ5 该算法在抗噪声能力与避免稀释平原问题方面，相较于 VQE 的性能表现如何？

主要发现

• 对于 a = 0.4 且 b = 0.2 的模型，该算法计算出的基态能量为 -0.824621，与真实基态能量在六位小数内完全一致。
• 最优变分态系数为 α = [-0.87033111, 0.1221769, 0.1221776]ᵀ，表明算法收敛至高精度解。
• 该算法通过凸松弛技术提供基态能量的下界，计算高效，且对任意给定变分态均有效。
• 推导出局部最小值为全局最优的充分条件，使求解器可将其作为终止准则，显著提升可靠性。
• 该方法通过消除参数调优与反馈循环，避免了 VQE 中固有的稀释平原问题，转而依赖于单次量子计算完成矩阵元计算。
• 该算法的成功高度依赖于变分态的表达能力；若变分态设计不佳，可能导致近似效果差，凸显了变分态设计的重要性。