[论文解读] Quantum asymptotic spectra of graphs and non-commutative graphs, and quantum Shannon capacities

Yinan Li, Jeroen Zuiddam|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Graph theory and applications参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过在量子和纠缠辅助同态下引入图和非交换图的量子渐近谱，将图的渐近谱理论扩展至量子设置。证明了分数阶实与复Haemers界是量子渐近谱中的谱点，并上界量子香农容量，表明量子香农容量与Lovász theta函数不相等，从而否定了量子信息理论中两个长期存在的猜想。

ABSTRACT

We study quantum versions of the Shannon capacity of graphs and non-commutative graphs. We introduce the asymptotic spectrum of graphs with respect to quantum and entanglement-assisted homomorphisms, and we introduce the asymptotic spectrum of non-commutative graphs with respect to entanglement-assisted homomorphisms. We apply Strassen's spectral theorem (J. Reine Angew. Math., 1988) in order to obtain dual characterizations of the corresponding Shannon capacities and asymptotic preorders in terms of their asymptotic spectra. This work extends the study of the asymptotic spectrum of graphs initiated by Zuiddam (Combinatorica, 2019) to the quantum domain. We then exhibit spectral points in the new quantum asymptotic spectra and discuss their relations with the asymptotic spectrum of graphs. In particular, we prove that the (fractional) real and complex Haemers bounds upper bound the quantum Shannon capacity, which is defined as the regularization of the quantum independence number (Mančinska and Roberson, J. Combin. Theory Ser. B, 2016), and that the fractional real and complex Haemers bounds are elements in the quantum asymptotic spectrum of graphs. This is in contrast to the Haemers bounds defined over certain finite fields, which can be strictly smaller than the quantum Shannon capacity. Moreover, since the Haemers bound can be strictly smaller than the Lovász theta function (Haemers, IEEE Trans. Inf. Theory, 1979), we find that the quantum Shannon capacity and the Lovász theta function do not coincide. As a consequence, two well-known conjectures in quantum information theory cannot both be true.

研究动机与目标

• 将Strassen的渐近谱理论扩展至涉及量子和纠缠辅助同态的量子设置。
• 在量子和纠缠辅助共同态预序下，定义并表征图和非交换图的渐近谱。
• 研究量子香农容量与谱点之间的对偶性，特别是Haemers界。
• 解决关于量子香农容量、Lovász theta函数和纠缠辅助零错误容量之间关系的开放问题。
• 证明量子香农容量与Lovász theta函数不相等，从而否定量子信息理论中的两个核心猜想。

提出的方法

• 应用Strassen的谱定理，通过渐近谱对量子香农容量进行对偶刻画。
• 引入关于量子和纠缠辅助同态的图的渐近谱。
• 在纠缠辅助共同态预序下，定义非交换图的渐近谱。
• 使用半定规划和算子空间技术分析纠缠辅助独立集和共同态。
• 证明分数阶实与复Haemers界是图的量子渐近谱中的元素。
• 通过比较界与谱点，证明量子香农容量不等于Lovász theta函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 渐近谱理论能否扩展至图论中的量子同态和纠缠辅助设置？
• RQ2 分数阶实与复Haemers界是否为图的量子渐近谱中的谱点？
• RQ3 量子香农容量是否与Lovász theta函数相等，还是严格不同？
• RQ4 如果量子香农容量与Lovász theta函数不同，是否可能使经典信道的纠缠辅助零错误容量等于Lovász theta函数？
• RQ5 有限域上的Haemers界在与量子香农容量的关系中起什么作用？

主要发现

• 分数阶实与复Haemers界是图的量子渐近谱的元素，提供上界量子香农容量的谱点。
• 量子香农容量严格小于Lovász theta函数，这通过存在Haemers界严格小于theta函数的图得到证明。
• 量子香农容量与Lovász theta函数不相等，这意味着‘纠缠辅助零错误容量等于Lovász theta函数’和‘最大纠缠态足以实现容量’这两个命题不能同时成立。
• 有限域上的Haemers界可能严格小于量子香农容量，表明此类界并非量子渐近谱中的谱点。
• 非交换图上的无辅助共同态预序不满足Strassen预序的性质，而其纠缠辅助对应则满足，这限制了无辅助情况下的对偶刻画。
• 纠缠辅助设置支持量子隐形传态，克服了经典信道无法传输哪怕一个量子比特的限制，这解释了为何纠缠辅助预序满足所需的Strassen性质。