[论文解读] Quantum Block and Synchronizable Codes Derived from Certain Classes of Polynomials

Tao Zhang, Gennian Ge|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种基于有限域上多项式的新型量子块码与量子同步码构造方法，特别利用了 $\mathbb{F}_2$ 上的双射码。通过利用分圆陪集与特定多项式不可约因子的代数结构，作者推导出具有改进参数的新量子码，包括一个具有最大错位容忍度的无限家族量子同步码，其参数范围和效率均优于现有构造。

ABSTRACT

One central theme in quantum error-correction is to construct quantum codes that have a large minimum distance. In this paper, we first present a construction of classical codes based on certain class of polynomials. Through these classical codes, we are able to obtain some new quantum codes. It turns out that some of quantum codes exhibited here have better parameters than the ones available in the literature. Meanwhile, we give a new class of quantum synchronizable codes with highest possible tolerance against misalignment from duadic codes.

研究动机与目标

• 通过基于多项式的经典码构造新型量子块码，以提升最小距离。
• 解决高错位容忍度的无限家族量子同步码稀缺的问题。
• 通过利用 $\mathbb{F}_2$ 上双射码的代数结构，推广现有量子同步码的构造方法。
• 提供优于当前在线表格中列出参数的显式量子码构造。

提出的方法

• 通过在有限域上对多项式进行求值来构造经典线性码，特别关注 $\mathbb{F}_2$ 上 $d_{n0}(x)$ 的不可约因子。
• 利用模 $p^n$ 的 $2$-分圆陪集来分解循环码的定义集，其中 $p \equiv -1 \pmod{8}$ 为奇素数。
• 通过不可约因子 $h_{ij}(x)$ 的乘积构造生成多项式 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$，以定义循环码 $D_1$ 与 $D_2$。
• 利用这些码的自正交性与对偶性性质，通过 CSS 构造法构建量子码。
• 通过在码长中引入 $a_l$ 与 $a_r$ 填充来构造量子同步码，同时保持所需的对称性与代数结构。
• 利用模 $p^n$ 的 2 的阶，记为 $\text{ord}_{p^n}(2) = t_n$，以确定不可约因子的次数与数量，从而精确控制码参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于多项式的构造能否产生优于现有构造的参数的量子码？
• RQ2 何种代数结构可实现具有最大错位容忍度的量子同步码的构造？
• RQ3 如何系统性地利用 $\mathbb{F}_2$ 上的双射码生成量子同步码的无限家族？
• RQ4 分圆陪集与 $d_{n0}(x)$ 的不可约因子分解在确定码参数中起何种作用？

主要发现

• 作者构造了一个新的无限家族量子同步码，其参数为 $(a_l, a_r)$-$[[p^n + a_l + a_r, k]]_2$，其中 $a_l + a_r < p^n$，实现了最大错位容忍度。
• 当 $p = 31$，$n = 2$ 时，该构造产生如 $(a_l, a_r)$-$[[961 + a_l + a_r, 621]]_2$ 的量子同步码，其中 $k = 621$，当 $f_1(x) = \prod_{i=1}^3 h_{1i}(x) \prod_{j=1}^3 h_{2j}(x)$ 且 $f_2(x) = \prod_{i=1}^3 h_{1i}(x)$ 时。
• 该构造通过灵活选择 $u_i$ 与 $v_i$，推广了先前结果（包括文献 [26]），允许更广泛的码长与参数范围。
• 该方法产生的量子码在最小距离与码率方面优于在线表格 [6] 与 [12] 中列出的参数，尤其在性能上表现更优。
• $d_{n0}(x)$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上的不可约因子数量为 $\frac{p^{n-1}(p-1)}{2t_n}$，其中 $t_n = \text{ord}_{p^n}(2)$，从而可精确控制码维与长度。
• 理论分析证实，这些码是自正交的，并满足通过 CSS 方法构造量子码的必要条件，确保其具备纠错能力。