[论文解读] Quantum bounds for ordered searching and sorting

Peter Høyer, Jan Neerbek+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文在量子黑箱模型中建立了有序搜索与排序的改进量子下界：对于有序列表搜索，下界为 (1/π)(ln N − 1)；对于排序 N 个元素，下界为 N/(2π)(ln N − 1)。此外，本文提出了一种精确的量子算法用于有序搜索，仅需 log₃N + O(1) 次查询，这是经典二分查找的量子优化版本，通过量子方法加速搜索树的遍历。

ABSTRACT

We consider the quantum complexities of searching an ordered list and sorting an un-ordered list. For searching an ordered list of N elements, we prove a lower bound of \\frac{1}{\\pi}(\\ln(N)-1) on the number of oracle queries that access the list elements. This improves the previously best lower bound of ({1/12}\\log_2(N) - O(1)) due to Ambainis. For sorting N numbers, we prove a lower bound of \\frac{N}{2\\pi}(\\ln(N)-1) on the number of binary comparisons. The previously best lower bound is \\Omega(N). Our proofs are based on a weighted all-pairs inner product argument, and our results generalize to bounded error quantum algorithms. Both results are proven in the so-called quantum black box model, a quantum analogue of classical decision trees. In addition to our lower bound results, we give an exact quantum algorithm for ordered searching using (\\log_3(N) + O(1)) queries, which is roughly 0.631 \\log_2(N). Although our algorithm is worse than that of Farhi, Goldstone, Gutmann and Sipser, which makes 0.526 \\log_2(N) queries, its philosophy is completely different. Our algorithm is a quantum version of the classical binary search algorithm, and it uses a quantum routine for traversing through a binary search tree faster than classically.

研究动机与目标

• 建立在有序列表中搜索和无序列表中排序的量子查询复杂度的更紧下界。
• 设计一种利用量子加速遍历二叉搜索树的量子算法，用于有序搜索。
• 将结果推广至有界误差量子算法及量子黑箱模型。
• 在排序方面，改进 Ambainis 及其他研究者先前建立的下界，特别是针对排序问题。

提出的方法

• 使用加权全对内积论证推导量子查询下界。
• 应用量子黑箱模型，即经典决策树的量子类比，形式化查询复杂度。
• 基于经典二分查找结构设计一种用于有序搜索的量子算法，但通过引入量子遍历方法进行增强。
• 利用量子幅度放大和态操作技术，加速搜索树的探索过程。
• 通过分析量子对有序与无序数据的访问在信息论上的极限，推导出下界。
• 通过分析误差传播与查询效率，将结果推广至有界误差量子算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 搜索大小为 N 的有序列表，所需的最少量子查询次数是多少？
• RQ2 对 N 个无序元素进行排序，其量子查询复杂度的下界是什么？
• RQ3 能否设计一种量子算法，保持经典二分查找的结构，同时实现量子加速？
• RQ4 新下界与量子黑箱模型中先前已知的下界相比如何？
• RQ5 量子算法在排序与搜索问题上的结果，能在多大程度上推广至有界误差情形？

主要发现

• 证明了量子有序搜索的新下界为 (1/π)(ln N − 1)，优于 Ambainis 之前的下界 (1/12)log₂N − O(1)。
• 对于排序 N 个元素，建立了 N/(2π)(ln N − 1) 的下界，该下界比先前已知的 Ω(N) 更紧。
• 构造了一种使用 log₃N + O(1) 次查询的精确量子算法用于有序搜索，等价于约 0.631 log₂N 次查询。
• 所提出的量子算法是经典二分查找的直接量子类比，利用量子方法比经典方式更快地遍历搜索树。
• 结果已推广至有界误差量子算法，显示出在不同误差范围下的鲁棒性。
• 证明加权全对内积论证是推导结构化问题中量子查询复杂度下界的一种强大工具。