[论文解读] Quantum Brachistochrone for Mixed States

A. Carlini, Akio Hosoya+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2007

Quantum Mechanics and Applications被引用 17

一句话总结

本文提出了一种变分原理，用于确定在受限哈密顿量和 Lindblad 算符约束下，由 Lindblad 主方程描述的混合态的时间最优量子演化。推导出最优哈密顿量的量子最速曲线方程，并表明通过混合态的演化可比纯态之间的幺正演化更快，且最优时间随环境自由度的增加呈指数下降。

ABSTRACT

We present a general formalism based on the variational principle for finding the time-optimal quantum evolution of mixed states governed by a master equation, when the Hamiltonian and the Lindblad operators are subject to certain constraints. The problem reduces to solving first a fundamental equation (the {\it quantum brachistochrone}) for the Hamiltonian, which can be written down once the constraints are specified, and then solving the constraints and the master equation for the Lindblad and the density operators. As an application of our formalism, we study a simple one-qubit model where the optimal Lindblad operators control decoherence and can be simulated by a tunable coupling with an ancillary qubit. It is found that the evolution through mixed states can be more efficient than the unitary evolution between given pure states. We also discuss the mixed state evolution as a finite time unitary evolution of the system plus an environment followed by a single measurement. For the simplest choice of the constraints, the optimal duration time for the evolution is an exponentially decreasing function of the environment's degrees of freedom.

研究动机与目标

• 将时间最优量子控制从纯态推广到由马尔可夫主方程描述的开放量子系统。
• 在哈密顿量和 Lindblad 算符的物理约束下，制定一个最小化演化时间的一般变分原理。
• 证明通过混合态的时间最优演化可快于相同约束下纯态之间的幺正演化。
• 通过一个可调耦合到辅助量子比特的两量子比特系统，实现最优混合态演化的物理实现。
• 比较在扩展希尔伯特空间中进行幺正演化后的单次最终测量与重复短时测量在时间最优性上的差异。

提出的方法

• 通过引入时间代价函数和拉格朗日乘子，构建一个变分作用量，以强制满足主方程和算符约束。
• 将量子最速曲线方程作为最优哈密顿量的基本方程推导出来，一旦约束确定即可求解。
• 求解主方程和约束方程，以确定最优 Lindblad 算符及密度矩阵的时间演化。
• 构建一个两量子比特模型，其中辅助量子比特模拟环境，通过重复短时幺正演化并取部分迹，再现 Lindblad 动力学。
• 将混合态演化建模为系统与环境的有限时间幺正演化，随后进行单次测量，映射到 Kraus 算符。
• 利用 Lindblad 算符与 Kraus 算符之间的关系，将演化表示为完全正且迹保持的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哈密顿量和 Lindblad 算符受限的马尔可夫动力学下，时间最优量子控制能否从纯态推广到混合态？
• RQ2 在相同约束下，通过混合态的演化是否比纯态之间的幺正演化更快？
• RQ3 当在扩展空间中进行幺正演化并随后进行最终测量时，最优演化时间如何随环境量子比特数变化？
• RQ4 能否通过一个可调控的两量子比特系统与辅助量子比特，物理实现最优 Lindblad 动力学？
• RQ5 在时间最优性方面，重复马尔可夫测量与单次最终测量之间存在何种关系？

主要发现

• 即使后者被限制在相同的哈密顿量集合中，混合态的时间最优演化仍可快于纯态之间的幺正演化。
• 在扩展空间中进行幺正演化并随后进行单次最终测量时，最优演化时间随环境量子比特数的增加呈指数下降。
• 在一量子比特模型中，最优哈密顿量由量子最速曲线方程导出，且最优 Lindblad 算符被发现可控制退相干。
• 最优动力学可通过一个与可调耦合的辅助量子比特相连的两量子比特系统模拟，其中重复短时幺正操作与部分迹可再现主方程。
• 对于少量环境量子比特，重复测量模型中演化态到目标纯态的保真度提升速度高于最终测量模型。
• 该形式化方法可在特殊情况下获得解析解，也可对更一般的约束进行数值求解，且通过标准常微分方程和代数方法可求解全部方程组。