[论文解读] Quantum Chains of Hopf Algebras with Order-Disorder Fields and Quantum Double Symmetry

Florian Nill, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Jul 31, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过有限维C*-Hopf代数H及其对偶H*的半直积构造了量子自旋链代数，引入了有序与无序对称性。证明了可观测量代数的DHR sector由Drinfeld双代数D(H)分类，并且完全、不可约、平移协变的场代数扩展与D(H) ⊗ D(H)中的2-上循环一一对应，建立了根植于量子双代数理论的对称性结构。

ABSTRACT

Given a finite dimensional C-*-Hopf algebra H and its dual H^ we construct the infinite crossed product A=... x H x H^ x H x ... and study its representations. A is the observable algebra of a generalized spin model with H-order and H^-disorder symmetries. By pointing out that A possesses a certain compressibility property we can classify all DHR-sectors of A --- relative to some Haag dual vacuum representation --- and prove that their symmetry is described by the Drinfeld double D(H). Complete, irreducible, translation covariant field algebra extensions F > A are shown to be in one-to-one correspondence with cohomology classes of 2-cocycles u in D(H) @ D(H).

研究动机与目标

• 通过H-有序与H^-无序对称性构造一个使用半直积代数的量子自旋链模型。
• 相对于Haag对偶的真空表示，对可观测量代数A = ... × H × H^ × H × ... 的DHR sector进行分类。
• 确立这些sector的对称性由Drinfeld双代数D(H)描述。
• 以D(H) ⊗ D(H)中2-上循环的上同调类表征所有完全、不可约、平移协变的场代数扩展F > A。
• 展示可观测量代数的可压缩性特性，从而实现对超选择sector的分类。

提出的方法

• 从有限维C*-Hopf代数H及其对偶H^出发，构造无限半直积代数A = ... × H × H^ × H × ... 。
• 利用DHR形式化方法分析A相对于Haag对偶真空表示的超选择sector。
• 利用A的可压缩性特性对所有DHR sector进行分类，证明其与Drinfeld双代数D(H)的不可约表示一一对应。
• 建立完全、不可约、平移协变的场代数扩展F > A与D(H) ⊗ D(H)中2-上循环的上同调类之间的一一对应关系。
• 应用算子代数与Hopf代数理论的技术，特别是量子双代数与半直积的结构。
• 在可观测量代数的构造中，利用Hopf代数与其对偶之间的有序与无序对称性对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个量子自旋链，使其能同时包含有限维C*-Hopf代数及其对偶的有序与无序对称性？
• RQ2 由H与H^的半直积构建的可观测量代数A的DHR sector的完整分类是什么？
• RQ3 A的超选择sector的对称性如何与Drinfeld双代数D(H)相关联？
• RQ4 所有完全、不可约、平移协变的场代数扩展F > A的结构是什么？
• RQ5 D(H) ⊗ D(H)中2-上循环的上同调在这些场扩展的分类中起什么作用？

主要发现

• 可观测量代数A的DHR sector完全由Drinfeld双代数D(H)的不可约表示分类。
• 超选择sector的对称性通过Drinfeld双代数D(H)实现，统一了H-有序与H^-无序对称性。
• 可观测量代数A具有可压缩性特性，使其DHR sector的分类成为可能。
• 完全、不可约、平移协变的场代数扩展F > A与D(H) ⊗ D(H)中2-上循环的上同调类之间存在一一对应关系。
• 该构造实现了量子双代数对称性作为系统的全局对称性，场代数扩展由D(H) ⊗ D(H)上循环参数化。
• 结果建立了具有广义对称性的量子链的严格代数框架，其对称性超越了标准李群或代数群。