[论文解读] Quantum channels that preserve entanglement

William Arveson|ArXiv.org|Jan 16, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文引入並表征了量子通道——具體而言是保極大 entangled 純態中 entanglement 的無跡完全正（UCP）映射——通過確保在通道膨脹下 entanglement 不被破壞。它建立了一個二分法：UCP 映射要麼是破壞 entanglement 的（退化），要麼是保全 entanglement 的，且幾乎所有低秩 UCP 映射以機率一保全 entanglement。

ABSTRACT

Let M and N be full matrix algebras. A unital completely positive (UCP) map ϕ:M o N is said to preserve entanglement if its inflation ϕ\otimes \id_N : M\otimes N o N\otimes N has the following property: for every maximally entangled pure state ρof N\otimes N, ρ\circ(ϕ\otimes \id_N) is an entangled state of M\otimes N. We show that there is a dichotomy in that every UCP map that is not entanglement breaking in the sense of Horodecki-Shor-Ruskai must preserve entanglement, and that entanglement preserving maps of every possible rank exist in abundance. We also show that with probability 1, {\em all} UCP maps of relatively small rank preserve entanglement, but that this is not so for UCP maps of maximum rank.

研究动机与目标

• 定義並表徵在量子通道中保全 entanglement 的 UCP 映射。
• 建立二分法：每個 UCP 映射要麼是破壞 entanglement 的，要麼是保全 entanglement 的。
• 證明所有可能秩的保全 entanglement UCP 映射大量存在。
• 分析不同秩的隨機 UCP 映射保全 entanglement 的機率。
• 研究極端 UCP 映射及其透過 Stinespring 表示與 entanglement 保全的關聯。

提出的方法

• 使用 Stinespring 擴張定理，透過 Hilbert 空間算子與最小 Stinespring 對表示 UCP 映射。
• 透過 UCP 映射在張量積空間中邊緣循環純態上的作用定義 entanglement 保全。
• 在秩 ≤ r 的 UCP 映射空間 $ \Phi^r $ 上定義機率測度 $ P^r $，將其視為對此類映射的隨機選擇。
• 應用零一律以證明低秩映射的 entanglement 保全是幾乎必然的，而最大秩映射則極為稀少。
• 利用表示的交換子結構推導 UCP 映射的極端性條件。
• 應用 [Arv07] 中關於參數化態與 UCP 映射的結果，以建立機率與結構性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 什麼特徵定義了一個保全 entanglement 而非破壞它的 UCP 映射？
• RQ2 是否存在 UCP 映射在破壞 entanglement 與保全 entanglement 之間的根本二分法？
• RQ3 對給定秩的隨機選取 UCP 映射，其保全 entanglement 的機率為何？
• RQ4 極端 UCP 映射如何與 entanglement 保全相關？
• RQ5 在什麼條件下，算子族 $ (v_1, \dots, v_r) $ 對應的 UCP 映射是極端的？

主要发现

• 存在嚴格的二分法：每個 UCP 映射要麼是破壞 entanglement 的（形式為 $ \phi(x) = \sum_k \omega_k(x)e_k $），要麼是保全 entanglement 的。
• 所有可能秩的保全 entanglement UCP 映射大量存在。
• 以機率一，所有相對低秩的 UCP 映射均保全 entanglement。
• 相反，最大秩的 UCP 映射以機率一不保全 entanglement。
• 極端 UCP 映射由算子族 $ \{v_i^*v_j\} $ 的線性獨立性特徵化，對應於 Choi 定理。
• 在 $ \Phi^r $ 上的機率測度 $ P^r $ 集中於秩恰好為 $ r $ 的映射，使隨機 UCP 映射的機率分析成為可能。