[论文解读] Quantum Chaos on Complexity Geometry

Bin Yan, Wissam Chemissany|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文提出了一种量子复杂性的线性响应理论，表明在混沌系统中，复杂性对初始条件扰动的响应呈指数增长。该理论表明，复杂性响应矩阵可恢复经典李雅普诺夫谱，并与量子时间 ordered 外 correlators (OTOCs) 密切相关，从而为相空间中经典混沌的直接量子推广提供了依据。

ABSTRACT

This article tackles a fundamental long-standing problem in quantum chaos, namely, whether quantum chaotic systems can exhibit sensitivity to initial conditions, in a form that directly generalizes the notion of classical chaos in phase space. We develop a linear response theory for complexity, and demonstrate that the complexity can exhibit exponential sensitivity in response to perturbations of initial conditions for chaotic systems. Two immediate significant results follows: i) the complexity linear response matrix gives rise to a spectrum that fully recovers the Lyapunov exponents in the classical limit, and ii) the linear response of complexity is given by the out-of-time order correlators.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：量子混沌系统是否能表现出类似于经典混沌的初始条件敏感性。
• 构建一个将经典混沌——特别是李雅普诺夫谱——推广至量子领域的框架，利用复杂性几何学。
• 建立量子复杂性响应与时间 ordered 外 correlators (OTOCs) 之间的直接联系，OTOCs 是现代量子混沌研究中的关键诊断工具。
• 证明相对复杂性（作为量子态流形上的距离度量）可捕捉混沌系统中对初始条件的指数敏感性。

提出的方法

• 通过海森堡代数生成元定义的路径上的代价函数，发展一种基于单位群路径的量子复杂性线性响应理论。
• 将复杂性定义为在酉群流形上最小代价路径（测地线），使用由李代数上范数诱导的黎曼度量。
• 从初始条件的小扰动下测地线偏离推导出线性响应矩阵 $ L = R^ op R $。
• 通过海森堡方程的精确解，显式计算了倒置谐振子（IHO）的响应矩阵，该系统是混沌的典型范例。
• 建立复杂性响应矩阵与 OTOC 矩阵之间的直接对应关系，表明后者控制复杂性的增长。
• 利用波函数的 Wigner 表示，表明扰动引起坐标平移，从而为最优复杂性路径固定边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子混沌系统是否能以一种推广经典混沌的方式表现出对初始条件的指数敏感性？
• RQ2 在适当极限下，量子复杂性的线性响应是否能恢复经典李雅普诺夫谱？
• RQ3 量子复杂性响应与时间 ordered 外 correlators (OTOCs) 之间存在何种根本关系？
• RQ4 量子态之间的相对复杂性是否可作为衡量混沌的有效几何度量，从而捕捉对初始条件的敏感性？
• RQ5 在混沌系统中，复杂性响应矩阵是否等价于 OTOC 矩阵？

主要发现

• 在经典极限下，量子复杂性的线性响应矩阵完全恢复了经典李雅普诺夫谱，倒置谐振子的李雅普诺夫指数为 $ \pm \Omega $。
• 复杂性响应由时间 ordered 外 correlators (OTOCs) 直接控制，建立了复杂性与量子混沌诊断工具之间的根本联系。
• 对于倒置谐振子，扰动下的最优复杂性路径是海森堡代数中的测地线，表达为 $ Y^{(1,2)}_c(\sigma) = \epsilon_{(1,2)}(t)\sigma $，该表达式给出了正确的响应矩阵。
• 由于最优路径在 Wigner 表示下的坐标平移不变性，态复杂性响应矩阵与酉复杂性响应矩阵在小扰动下一致。
• OTOC 矩阵 $ O_{x,p} = i\cosh(\Omega t) $ 被证明等价于复杂性响应矩阵，确认了二者之间的对应关系。
• 在量子态流形上，相对复杂性距离在混沌动力学下表现出指数增长，提供了量子混沌的几何特征。