[论文解读] Quantum Circuits: Fanout, Parity, and Counting

Cristopher Moore|ArXiv.org|Mar 13, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 31

一句话总结

该论文提出了 QAC₀_wf 和 QACC₀[2] 两类量子电路类，它们通过引入常数深度的控制位复制和奇偶校验操作，扩展了经典电路类 AC₀ 和 ACC₀。研究证明，在常数深度下实现控制位复制或奇偶校验操作，即可构造任意 q 的 MODq 门，从而得出 QACC₀[2] = QACC₀，表明在此设定下，量子电路严格强于其经典对应物。

ABSTRACT

We propose definitions of QAC^0, the quantum analog of the classical class AC^0 of constant-depth circuits with AND and OR gates of arbitrary fan-in, and QACC^0[q], where n-ary Mod-q gates are also allowed. We show that it is possible to make a `cat' state on n qubits in constant depth if and only if we can construct a parity or Mod-2 gate in constant depth; therefore, any circuit class that can fan out a qubit to n copies in constant depth also includes QACC^0[2]. In addition, we prove the somewhat surprising result that parity or fanout allows us to construct Mod-q gates in constant depth for any q, so QACC^0[2] = QACC^0. Since ACC^0[p] != ACC^0[q] whenever p and q are mutually prime, QACC^0[2] is strictly more powerful than its classical counterpart, as is QAC^0 when fanout is allowed.

研究动机与目标

• 定义经典电路类 AC₀ 和 ACC₀ 的量子对应类，特别是 QAC₀_wf 和 QACC₀[q]，以研究浅层电路中的量子计算能力。
• 在常数深度约束下，研究量子电路中控制位复制、奇偶校验与 MODq 门之间的关系。
• 确定量子电路类是否严格强于其经典对应类，特别是在常数深度计算的背景下。
• 通过明确控制位复制和辅助位管理的作用，解决量子电路类定义中的歧义。

提出的方法

• 提出 QAC₀_wf 作为一类允许常数深度量子比特复制的量子电路类，通过由单量子比特门和 Toffoli 门层组成的单位变换电路来定义。
• 通过将 QAC₀_wf 扩展为包含无界输入规模的 MODq 门，引入 QACC₀[q]，其中 MODq 输出 1 当且仅当输入之和不能被 q 整除。
• 使用受控-M 门构造方法，通过酉变换 T 实现对角化，将非对角门转换为对角形式，从而实现并行化。
• 利用 Hadamard 门和受控相位操作实现控制位复制，通过猫态制备，利用量子叠加和纠缠。
• 通过逆受控-M 操作初始化并清除辅助量子比特，以保持正确性并实现复用。
• 利用如下恒等式：若控制位复制或奇偶校验可在常数深度实现，则对任意 q，MODq 门也可在常数深度构造，方法为通过酉对角化和平行受控操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子电路中，控制位复制能否在常数深度实现，这是否意味着可计算奇偶校验？
• RQ2 在常数深度下，若能计算奇偶校验或控制位复制，是否可对任意 q 在常数深度构造 MODq 门？
• RQ3 QACC₀[q] 是否对所有 q（包括奇数 q）都等于 QACC₀，这是否意味着量子优势相对于经典 ACC₀？
• RQ4 QAC₀ 是否等于 QAC₀_wf，或控制位复制在常数深度下是否严格强于基本的 Toffoli 门和单量子比特门？
• RQ5 用于构建 MODq 门的技术能否扩展至在常数深度构造阈值门？

主要发现

• 在常数深度下将一个量子比特复制为 n 份，等价于在常数深度构造一个奇偶校验（MOD2）门。
• 若存在常数深度的控制位复制或奇偶校验门，则可对任意 q 在常数深度构造 MODq 门。
• QACC₀[2] = QACC₀，意味着添加 MOD2 门即可在常数深度实现所有 MODq 门，而这一结果在经典情形下不成立。
• QAC₀_wf = QACC₀[2] = QACC₀，表明常数深度的控制位复制或奇偶校验导致了量子 MODq 层次结构的坍缩。
• QAC₀_wf 和 QACC₀[2] 严格强于其经典对应类 AC₀ 和 ACC₀[2]，这是由于在常数深度计算中存在量子优势。
• 所构造的 MODq 门的深度依赖于 q，但不依赖于 n，确认了对固定 q 的常数深度，且深度有界于 O(q² log³ q)。