[论文解读] Quantum circuits of CNOT gates

Marc Bataille|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文利用二元域上的一般线性群结构，发展代数方法以优化仅由CNOT门组成的量子线路，实现多项式时间的启发式约简，并在特定情况下实现精确优化。此外，本文展示了CNOT线路如何高效生成如|W₄⟩之类的纠缠态，为NISQ时代量子计算中的量子线路简化与纠缠资源制备提供了实用工具。

ABSTRACT

We study in detail the algebraic structures underlying quantum circuits generated by CNOT gates. Our results allow us to propose polynomial-time heuristics to reduce the number of gates used in a given CNOT circuit and we also give algorithms to optimize this type of circuits in some particular cases. Finally we show how to create some usefull entangled states when a CNOT circuit acts on a fully factorized state.

研究动机与目标

• 理解仅由CNOT门构成的量子线路的代数结构。
• 开发高效优化技术，以减少任意线路中的CNOT门数量。
• 识别并解决CNOT生成的酉操作特定子群中的优化问题。
• 探索CNOT线路在生成如|W₄⟩等有用纠缠量子态中的作用。
• 通过最小化易出错的两比特门（如CNOT）来支持容错量子计算。

提出的方法

• 本文将CNOT线路建模为GLₙ(𝔽₂)的元素，建立了线路操作与二元域上矩阵变换之间的直接代数同构。
• 将线路约简问题表述为在𝔽₂上求解多项式方程组，利用不变量B、L、M、Dₓᵧ、Pᴰ¹、Pᴰ²、P_F、P_L和P_C²来检测与|W₄⟩的非SLOCC等价性。
• 提出一种基于𝔽₂上高斯-约旦消去法的启发式优化方法，用于一般CNOT线路约简，实现多项式时间简化。
• 对于特殊情况，通过分析特定纠缠态在CNOT操作下的轨道结构，构建了精确算法。
• 该方法使用符号计算（Maple脚本）通过测试偏导数方程组是否可解来验证与|W₄⟩的非等价性。
• 该方法通过IBM的ibmq_rome设备的真实错误率进行了验证，表明CNOT门是当前硬件中主要的错误来源。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用𝔽₂上的线性代数表征CNOT线路的代数结构？
• RQ2 能否开发多项式时间启发式方法，以最小化任意线路中的CNOT门数量？
• RQ3 是否存在针对CNOT生成的酉操作特定子群的精确优化算法？
• RQ4 能否系统性地利用CNOT线路生成已知的纠缠态（如|W₄⟩）？
• RQ5 在超过四个量子比特的系统中，什么条件决定了一个量子态是普遍纠缠的？

主要发现

• CNOT线路同构于GLₙ(𝔽₂)的元素，使得线性代数技术可用于线路简化。
• 基于高斯-约旦消去法的多项式时间启发式方法可高效约简一般情况下的CNOT线路。
• 针对特定子群开发了精确优化算法，可在结构化情况下实现最小门数。
• 通过证明由其超行列式导出的方程组无非平凡解，本文证明了某一给定态与|W₄⟩不具有SLOCC等价性。
• 该方法成功利用符号计算验证了某一态与|W₄⟩不等价，该过程耗时数小时。
• CNOT线路被证明是生成纠缠态的强大且实用的工具，尤其在3-和4量子比特系统中。