[论文解读] Quantum Circuits with Mixed States

Dorit Aharonov, Alexei Kitaev+1 more|ArXiv.org|Jun 8, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 68

一句话总结

本文提出了一种广义的量子线路模型，允许使用混合态（密度矩阵）和一般量子操作（不一定是酉操作），克服了标准酉模型的关键局限。主要贡献在于证明了在该模型中可形式化地使用概率性子程序而不增加计算能力，并利用钻石范数建立了电路级噪声的线性误差界。

ABSTRACT

We define the model of quantum circuits with density matrices, where non-unitary gates are allowed. Measurements in the middle of the computation, noise and decoherence are implemented in a natural way in this model, which is shown to be equivalent in computational power to standard quantum circuits. The main result in this paper is a solution for the subroutine problem: The general function that a quantum circuit outputs is a probabilistic function, but using pure state language, such a function can not be used as a black box in other computations. We give a natural definition of using general subroutines, and analyze their computational power. We suggest convenient metrics for quantum computing with mixed states. For density matrices we analyze the so called ``trace metric'', and using this metric, we define and discuss the ``diamond metric'' on superoperators. These metrics enable a formal discussion of errors in the computation. Using a ``causality'' lemma for density matrices, we also prove a simple lower bound for probabilistic functions.

研究动机与目标

• 解决标准酉量子线路模型在处理计算过程中的测量、噪声和退相干时的形式不足问题。
• 通过允许将概率性函数作为黑箱子程序正式集成到量子线路中，解决长期存在的“子程序问题”。
• 提出一个统一框架，使用密度矩阵和完全正映射来建模一般量子操作，包括非酉过程。
• 利用迹度量和钻石范数，建立对噪声量子计算的严格误差追踪方法。
• 证明扩展后的模型在计算能力上与标准酉模型等价，保持了复杂性理论结果。

提出的方法

• 将量子线路推广至允许任意混合态（密度矩阵）和任意量子操作（完全正迹非增映射）。
• 使用钻石范数作为度量来量化量子操作之间的距离，从而实现对噪声线路中误差的分析。
• 定义对偶超算符以关联迹范数，并证明误差传播的关键不等式。
• 将概率性子程序正式定义为与理想版本迹距离有界的量子操作。
• 证明：迹距离 ≤ε 的子程序所引入的误差，通过超算符范数界，对整体电路误差的贡献最多为 5ε。
• 利用三角不等式和钻石范数的次乘性，证明在包含 L 个门/子程序的电路中，每个组件的误差 ≤ε 时，总误差被限制在 O(Lε) 以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不改变计算能力的前提下，形式化地将混合态和非酉操作扩展到量子线路模型中？
• RQ2 如何形式化地将概率性子程序——即输出概率性结果的函数——集成到量子线路模型中？
• RQ3 用于追踪量子线路中噪声和退相干的正确误差度量是什么？误差在各操作间如何累积？
• RQ4 在量子线路中使用概率性子程序是否在计算能力上等价于使用理想酉操作，还是会增加计算能力？
• RQ5 能否利用钻石范数推导出在噪声条件下量子线路的紧密线性误差界？

主要发现

• 包含混合态的量子线路模型在计算能力上与标准酉模型多项式等价。
• 子程序问题得以解决：概率性子程序可被形式化地作为黑箱使用，且其使用不会增加模型的计算能力。
• 单个门或子程序若钻石范数误差 ≤ε，则对整体电路误差的贡献最多为 O(ε)，每个子程序的线性界为 5ε。
• 在包含 L 个组件的电路中，每个组件误差 ≤ε 时，总误差被限制在 O(Lε) 以内，表明误差呈线性累积。
• 钻石范数为量化量子操作之间距离提供了稳健且具有物理意义的度量，支持严格的误差追踪。
• 噪声和退相干——将纯态转化为混合态的非酉过程——可在新框架中自然建模与分析。