[论文解读] Quantum Codes from Generalized Reed-Solomon Codes and Matrix-Product Codes

Tao Zhang, Gennian Ge|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文通过在有限域上使用酉自正交广义 Reed-Solomon 码，提出了三种新的量子 MDS 码类，并引入了一种新颖的量子码构造方法，结合矩阵积码与酉构造。关键贡献在于发现了此前未知的、参数更优的量子 MDS 码，包括长度为 $ q^2 - 1 $、最小距离达 $ q $ 的码，以及相较于文献中已有码的参数更优的码。

ABSTRACT

One of the central tasks in quantum error-correction is to construct quantum codes that have good parameters. In this paper, we construct three new classes of quantum MDS codes from classical Hermitian self-orthogonal generalized Reed-Solomon codes. We also present some classes of quantum codes from matrix-product codes. It turns out that many of our quantum codes are new in the sense that the parameters of quantum codes cannot be obtained from all previous constructions.

研究动机与目标

• 构造优于现有构造的新型量子 MDS 码。
• 将已知量子 MDS 码的范围扩展至超过 $ q/2 + 1 $ 的最小距离界限。
• 提出一种利用矩阵积码与酉构造相结合的新方法来构建量子码。
• 证明对于所有 $ 2 \leq d \leq q $，存在长度为 $ q^2 - 1 $、最小距离为 $ d $ 的 $ q $-元量子 MDS 码。

提出的方法

• 利用 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的酉自正交广义 Reed-Solomon 码，通过酉构造方法构建量子 MDS 码。
• 基于 $ q $ 的特定结构条件（如 $ q = 2am+1 $、$ q = 2am-1 $、$ q = (2a+1)m-1 $）推导出三个新的量子 MDS 码族，并给出明确的参数。
• 应用矩阵积码构造方法，使用 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的 $ s \times s $ 非奇异矩阵 $ A $，使得 $ A^{(q)} $ 也非奇异。
• 利用酉对偶包含条件 $ C_i^\perp^H \subseteq C_i $ 确保所得矩阵积码为酉对偶包含。
• 将矩阵积码构造与酉构造相结合，生成具有更优参数的新量子码。
• 利用已知的长度为 $ q^2+1 $ 和 $ q^2 $ 的酉对偶包含码，推导出长度为 $ 2q^2+2 $、$ 2q^2 $ 和 $ 2q^2-2 $ 的新量子码，其维数与最小距离均得到提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从具有特定代数形式 $ q $ 的广义 Reed-Solomon 码中构造出新的量子 MDS 码族？
• RQ2 长度为 $ q^2 - 1 $ 的量子 MDS 码能达到何种参数？其最小距离是否可达到 $ d \leq q $？
• RQ3 能否通过在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上结合矩阵积码与酉构造，获得优于现有构造的量子码？
• RQ4 所构造量子码的参数与已知量子码在线表中的参数相比如何？

主要发现

• 构造出三类新的 $ q $-元量子 MDS 码：一类适用于 $ q = 2am+1 $，一类适用于 $ q = 2am-1 $，一类适用于 $ q = (2a+1)m-1 $，每类均给出依赖于 $ a $、$ m $ 和 $ d $ 的明确参数。
• 对于所有 $ 2 \leq d \leq q $，存在长度为 $ q^2 - 1 $、最小距离为 $ d $ 的 $ q $-元量子 MDS 码，扩展了先前结果。
• 当 $ q $ 为奇素数幂时，构造出长度分别为 $ 2q^2+2 $、$ 2q^2 $ 和 $ 2q^2-2 $ 的新量子码，其参数分别为 $ [[2q^2+2, 2q^2+6-3d, \geq d]]_q $、$ [[2q^2, 2q^2+4-3d, \geq d]]_q $ 和 $ [[2q^2-2, 2q^2+2-3d, \geq d]]_q $。
• 所构造的量子码在参数上优于在线表 [9] 中列出的码，如表 I 所示，相同长度与最小距离下维数更高。
• 具体实例包括 $ [[20,14,\geq3]]_3 $、$ [[48,28,\geq8]]_5 $ 和 $ [[164,152,\geq5]]_9 $，均优于以往已知的码。
• 通过矩阵积码与酉对偶性结合的构造方法，生成的量子码无法通过早期方法获得，表明其在参数空间中的新颖性。