[论文解读] Quantum Codes from High-Dimensional Manifolds

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 15

一句话总结

本文在高维环面上构建了量子 CSS 稳定子码，借助一个几何猜想，实现了距离缩放为 $N^{1- ho}$ 且稳定子权重为对数级（$W = \mathcal{O}(\log N)$）。在假设关于格点中非平凡同调曲面最小体积的猜想成立的前提下，该构造得到了几乎线性距离与高效局部可测试性的量子码，显著超越了已知的量子码缩放极限。

ABSTRACT

We construct toric codes on various high-dimensional manifolds. Assuming a conjecture in geometry we find families of quantum CSS stabilizer codes on $N$ qubits with logarithmic weight stabilizers and distance $N^{1-ε}$ for any $ε>0$. The conjecture is that there is a constant $C>0$ such that for any $n$-dimensional torus ${\mathbb T}^n={\mathbb R}^n/Λ$, where $Λ$ is a lattice, the least volume unoriented $n/2$-dimensional surface (using the Euclidean metric) representing nontrivial homology has volume at least $C^n$ times the volume of the least volume $n/2$-dimensional hyperplane representing nontrivial homology; in fact, it would suffice to have this result for $Λ$ an integral lattice with the surface restricted to faces of a cubulation by unit hypercubes. The main technical result is an estimate of Rankin invariants\cite{rankin} for certain random lattices, showing that in a certain sense they are optimal. Additionally, we construct codes with square-root distance, logarithmic weight stabilizers, and inverse polylogarithmic soundness factor (considered as quantum locally testable codes\cite{qltc}). We also provide an short, alternative proof that the shortest vector in the exterior power of a lattice may be non-split\cite{coulangeon}.

研究动机与目标

• 在高维流形上构造具有改进距离与稳定子权重缩放的量子 CSS 稳定子码。
• 解决经典与量子码性能之间长期存在的差距，特别是在距离与权重权衡方面。
• 探究高维环码是否能够超越已知的量子码参数（如距离与稳定子权重）界限。
• 建立格点同调的几何猜想与量子码性能之间的联系。
• 为构造具有反多项对数音高因子的量子局部可测试码（QLTC）提供框架。

提出的方法

• 该构造利用 $n$-维环面 $\mathbb{T}^n = \mathbb{R}^n / \Lambda$ 上的环码，其中 $\Lambda$ 为格点，通过同调定义量子 CSS 码。
• 该方法依赖于一个猜想：表示非平凡同调的无方向 $n/2$-维曲面的最小体积至少为最小超平面体积的 $C^n$ 倍，其中 $C>0$。
• 证明技术通过在立方超立方体的坐标上迭代移动边界，使用 $\mathcal{O}(pd)$ 步骤序列消除边界分量，从而逐步减少链的边界。
• 通过分析格点的几何结构与链复形的结构，对稳定子的权重和码的音高因子进行界约束。
• 关键技术组件是使用 Rankin 不变量来估计外幂中随机格点的最优性，从而支持该几何猜想。
• 另提供一种证明，利用 Coulangeon 的结果，证明格点外幂中最短向量的非分裂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 高维流形上的量子码能否实现几乎线性距离与对数级稳定子权重？
• RQ2 关于格点中最小同调曲面体积的几何猜想是否意味着改进的量子码参数？
• RQ3 此类码能否实现具有反多项对数音高因子的局部可测试性？
• RQ4 格点几何与 Rankin 不变量在优化量子码距离与权重方面起什么作用？
• RQ5 格点外幂中的最短向量是否可能非分裂，其对码构造有何影响？

主要发现

• 在几何猜想成立的前提下，本文构造了具有 $N$ 个量子比特、距离 $D = N^{1-\epsilon}$（对任意 $\epsilon > 0$）且稳定子权重 $W = \mathcal{O}(\log N)$ 的量子 CSS 码。
• 该构造得到的码具有反多项对数音高因子 $\Omega(1/\log(N)^2)$，表明其作为量子局部可测试码（QLTC）具有强局部可测试性。
• 该方法表明，格点外幂中的最短向量可能为非分裂，为格点几何提供了新的结构性洞见。
• 利用 Rankin 不变量表明，某些随机格点可达到最优或近似最优值，从概率角度支持了该几何猜想的有效性。
• 通过在超立方体坐标上迭代减少链边界的方法，得到稳定子权重与音高因子的界，步数为 $\mathcal{O}(pd)$，其中 $p$ 与 $d$ 分别与超立方体大小和维度相关。
• 本文提供了最短向量在格点外幂中可为非分裂的简洁替代证明，以不同方法确认了 Coulangeon 的结果。