[论文解读] Quantum Cohomology and Crepant Resolutions: A Conjecture

Tom Coates, Yongbin Ruan|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 38

一句话总结

本文提出一个猜想，通过格维塔尔拉格朗日子流形之间的线性辛同构，将一个 Gorenstein 群簇 $\mathcal{X}$ 的量子上同调与其裂化解析 $Y$ 的量子上同调联系起来。该猜想在量子参数的解析延拓后，暗示了量子上同调结构的等价性，统一并推广了 Ruan 和 Bryan–Graber 的早期猜想，并通过一个量化版本扩展至高亏格不变量。

ABSTRACT

We give an expository account of a conjecture, developed by Coates--Corti--Iritani--Tseng and Ruan, which relates the quantum cohomology of a Gorenstein orbifold X to the quantum cohomology of a crepant resolution Y of X. We explore some consequences of this conjecture, showing that it implies versions of both the Cohomological Crepant Resolution Conjecture and of the Crepant Resolution Conjectures of Ruan and Bryan--Graber. We also give a "quantized" version of the conjecture, which determines higher-genus Gromov--Witten invariants of X from those of Y.

研究动机与目标

• 提出一个关于 Gorenstein 群簇 $\mathcal{X}$ 的量子上同调与其裂化解析 $Y$ 的量子上同调之间关系的一般性猜想。
• 证明在适当条件下，该猜想可推出上同调裂化解析猜想、Ruan 的猜想以及 Bryan–Graber 的猜想的版本。
• 发展该猜想的“量化”版本，以关联 $\mathcal{X}$ 与 $Y$ 的高亏格 Gromov–Witten 不变量。
• 建立一个使用 Givental 拉格朗日子流形形式的框架，通过解析延拓与辛同构来编码并比较量子上同调结构。

提出的方法

• 将 $\mathcal{X}$ 与 $Y$ 的亏格零 Gromov–Witten 不变量编码为辛向量空间中拉格朗日子流形 $\mathcal{L}_{\mathcal{X}} \subset \mathcal{H}_{\mathcal{X}}$ 与 $\mathcal{L}_{Y} \subset \mathcal{H}_{Y}$ 的芽。
• 猜想存在一个线性辛同构 $\mathbb{U}: \mathcal{H}_{\mathcal{X}} \to \mathcal{H}_{Y}$，使得在拉格朗日子流形的解析延拓后，有 $\mathbb{U}(\mathcal{L}_{\mathcal{X}}) = \mathcal{L}_{Y}$。
• 利用 Givental 形式化方法，通过法丛与 $J$-函数从拉格朗日子流形中提取量子上同调。
• 应用拓扑递归关系与真空方程，证明在相关参数域内，下级生成函数的解析性。
• 在收敛性假设下，通过具有解析系数的量子微分方程的解，建立量子不变量的解析性。
• 通过一个关联 $\mathcal{X}$ 与 $Y$ 的高亏格不变量生成函数的量化版本，将猜想推广至高亏格不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gorenstein 群簇 $\mathcal{X}$ 的量子上同调如何与它的裂化解析 $Y$ 的量子上同调相关？
• RQ2 猜想中 $\mathcal{X}$ 与 $Y$ 的拉格朗日子流形之间的辛同构是否能恢复已知猜想，如 Ruan 或 Bryan–Graber 的猜想？
• RQ3 解析延拓在关联群簇与解析几何的量子上同调结构中起什么作用？
• RQ4 如何通过猜想的量化版本，从 $Y$ 的高亏格 Gromov–Witten 不变量重构 $\mathcal{X}$ 的高亏格 Gromov–Witten 不变量？
• RQ5 $\mathcal{X}$ 与 $Y$ 的下级生成函数在哪些参数域内是解析的？这如何支持该猜想？

主要发现

• 该猜想暗示了上同调裂化解析猜想的一个版本，即在解析延拓后，群簇与解析后的量子上同调之间存在同构。
• 该猜想暗示了 Ruan 关于小量子上同调的猜想，表明在参数特化与量子参数解析延拓后，存在同构。
• 该猜想暗示了 Bryan–Graber 猜想的精化版本，通过线性同构匹配了大量子上同调代数及其配对。
• 在假设 2.1 成立的条件下，下级生成函数 $\mathcal{F}^{0}_{\mathcal{X}}$ 在 $\mathbb{C}^s$ 上关于 $\tau_{0,1},\ldots,\tau_{0,s}$ 是解析的。
• 下级生成函数 $\mathcal{F}^{0}_{Y}$ 在域 $|t_{0,i}| < \infty$ 与 $|Q_i e^{t_{0,i}}| < R_i$（$i > s$）内关于 $t_{0,1},\ldots,t_{0,r}$ 与 $Q_{s+1},\ldots,Q_r$ 是解析的。
• 通过拓扑递归关系、真空方程，以及量子微分方程在收敛性假设下具有解析系数的事实，建立了 Gromov–Witten 不变量的解析性。